(1-2)利息度量.

1利息的度量：名义利率、名义贴现率、利息力2上节主要内容回顾实际利率（i）＝利息/期初本金实际贴现率（d）＝利息/期末累积值i与d之间的关系（下页）：期初本金期末累积值利息＝期末累积值－期初本金30111+ii1-dd1v11-v1idi1did-1vd-4()(1)(1)ttatid--1()(1)(1)ttatid---累积函数：贴现函数：5本节主要内容：名义利率（nominalrateofinterest）名义贴现率（nominalrateofdiscount）利息力（forceofinterest）实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息力的关系。6实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转为下期的本金。名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。何谓名义利率？7考虑下述两笔贷款：贷款100万，年利率为12％，每年末支付一次利息，每次支付12万。贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。这两个利率有何不同？你愿意选择哪笔贷款？为什么？答案：第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率,对应的年实际利率为12.68％。8名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个季度等）的实际利率。例如：假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应的年名义利率被定义为1%×12=12%。如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利率相对应的年名义利率被定义为3%×4=12%。9名义利率的表述季度的实际利率为3%：年名义利率为12%，每年结转4次利息；年名义利率为12%，每年复利4次；年名义利率为12%，每个季度结转一次利息；年名义利率为12%，每个季度复利一次。相关术语利息结转期：interestconversionperiod；每月结转一次：convertiblemonthly；每季支付一次：payablequarterly；每半年复利一次：compoundsemiannually；10年名义利率i(m)（m≥1，为整数）表示每年结转m次利息，即每1/m年支付一次利息，每次的实际利率为i(m)/m。例：i(4)=8％表示每个季度结转一次利息，且每个季度的实际利率为2％。例：i(12)=6％表示每个月结转一次利息，且每月的实际利率为0.5％。问题：三个月定期存款的年利率为1.8％，含义是什么？答案：表明i(4)＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存1000元满3个月可得利息1000×1.8%/4=4.5元。名义利率的定义11名义利率与实际利率的关系：名义利率与等价的实际利率有如下关系：或者由实际利率i也可以计算名义利率i(m)，即()11mmiim()11mmiim-()1/[(1)1]mmimi-12例：贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。求等价的年实际利率是多少？解：问题：如果每周支付一次利息，等价的年实际利率会如何变化（增加还是减少）？每天支付一次呢？(12)12(12)212%11(11%)112.68%12iii--13在年名义利率一定的条件下，每年的结转次数（复利次数）越多，年实际利率将越大。年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年实际利率年初的1000元在年末的累积值10.100001100.0020.102501102.5040.103811103.81120.104711104.7152（每周）0.105071105.07365(每天)0.105161105.1614问题：年名义利率i(m)一定的情况下，如果复利次数m为无穷大，年实际利率会是多少？年复利次数年实际利率年初的1000元在年末的累积值10.100001100.00365(每天)0.105161105.16∞e0.1-1=0.105171105.17(()())()()lim11l11im1mmmimimmmmimiiiemm---15每年的结转次数小于1时的名义利率在n个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）可以表示为i(1/n)，其中n是大于1的正整数。名义利率i(1/n)是指每n个时期支付一次利息，且每n个时期的实际利率为i(1/n)×n例：2年期定期存款的年利率为3.06%，其含义为i(1/2)=3.06%2年期的实际利率为i(1/2)×2=3.06%×2=6.12%问题：等价的1年期的实际利率为多少？21/216.12%(1)(16.12%)13.015%ii-16例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？存款利率（％）活期定期3个月6个月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.14问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，哪个合算？当3个月期的利率为多少时，两种投资没有差异？17分析：3个月的实际利率为1.80％÷4＝0.45％，1年下来的累积值为1年期存款的实际利率为2.52％,1年下来的累积值为1.0252结论：直接投资1年合算。4(10.45%)1.0181218如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有由此可得4(4)112.52%4i(4)2.4965%i19存款利率：名义利率和实际利率的比较活期定期3个月6个月1年2年3年5年年名义利率0.721.802.252.523.063.694.14实际年利率0.7231.8122.2632.523.0153.5623.834注：•小于1年时，实际利率大于名义利率；•超过一年时，实际利率小于名义利率。20名义贴现率(nominalannualrateofdiscount)名义贴现率d(m)（m1）定义：d(m)是指每1/m时期的实际贴现率为d(m)/m。由等价的定义重新整理得()11mmddm--()11mmddm--11()1(1)1mmmdmdmv---21Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名义贴现率为6％，每半年复利一次，第6年末的值为$1000，求其现值）解：这相当于按3％的年贴现率计算在12年末支付$1000的现值。(2)6%d26126%100011000(13%)693.842--22名义利率与名义贴现率的关系（1）一般情况（2）m＝p（3）把i(m)/m和d(m)/m看作1/m年内的实际利率和实际贴现率，则()()1(1)11(1)(1)mpmpididimp----()()11mmmmidmm--()()()()mmmmididmmmm-23例：确定每季度复利一次的名义利率，使它等价于每月复利一次的6％的名义贴现率。解：，(12)6%d412(4)0.0611412i--(4)310.9954i-(4)34[0.9951]6.06%i--24例：已知i(12)=5.58%。求i、d、d(12)解：(12)121(1)12ii5.72%5.41%115.72%idi121.0046515.72%i-(12)(12)1212(1)(1)11212id-(12)112(11.00465)5.55%d--()()mmddii25问题：一般性规律？(2)(3)(4)(4)(3)(2)......iiiidddd26nominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)0.100002(每半年)0.097504(每季)0.0963112(每月)0.0955452(每周)0.09525365(每天)0.09517∞1-e-0.1=0.09516(()())()()lim11lim111mmmdmmdmmmmdddmdme--------27小结：()()11(1)11(1)mpmpididvmp-----期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息28思考题某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率不变，为0.72%。1年按360天计算，每月按30天计算。假设情景：2007年1月末需要使用这笔存款。注：定期存款若提前支取，按活期计息。一个基点为0.01%。利率调整幅度通常能被9整除。因为一年按360天计息。291年零1月后的累积值：30100000.72%1(14%)10406.243603010000(13%)0.72%110306.18360转存：不转存：30回顾：年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长强度（月平均）。问题：哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实际利率？如何度量资金在每一个时点上的增长强度？在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度。311.8利息力(forceofinterest)定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小的时间区间内）增长的强度。在时间区间[t,t+h]的实际利率为年名义利率为（1年包含1/h个小区间）()()()athatat-()()()athathat-32为在时刻t的利息增长强度（即利息力）。定义：设积累函数连续可导，则时刻t的利息力为0()()'()lim()()hathatathatat-'()()tatat问题：为什么不用a(t)直接度量利息的增长强度？33例：已知金额函数为求t＝1/2时的利息力。解：1/21/2()()tAtAt21/21628210010103tttt2()82100Attt34累积函数和贴现函数的另一种表达式：用r代替t，并将此式两边在0到t积分，得从而有'()ln()()tatatat00ln()ln()ttrdrardrat0()etrdrat01()etrdrat--因为35单利在t时刻的利息力（了解）因为所以时刻t的利息力为单利的利息力是时间的递减函数。()1atit'()ati'()()1tatiatit36单贴现的利息力是时间的递增函数。21()(1)()()(1)tatdtdatdt------,1ddt-01/td单贴现在t时刻的利息力（了解）1()(1)atdt--37复利在时刻t的利息力因为所以时刻t的利息力为复利的利息力是常数！与时间无关。称为复利的利息力。故累积函数可以表示