2010级《高等代数》试卷A答案

重庆大学试卷教务处07版第1页共3页重庆大学《高等代数(2)》课程试卷参考答案2010~2011学年第二学期开课学院：数学与统计学院课程号：10020550考试日期：2011-6考试方式：考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题（每空3分,共21分）：1、实二次型222121122(,,,)nnnfxxxdxdxdx正定id0，1,2,,in。2、2P上线性变换A定义如下：22aabbbaA，则A在基11,01下的矩阵是1013。3、nnP中全体对称矩阵做成的数域P上的线性空间的维数是(1)2nn。4、设三级方阵A的三个特征值为1、2、－2，矩阵B与A相似，则B的特征值为1、2、－2,伴随矩阵*B的三个特征值为-4、-2、2。5、设33矩阵A的初等因子为2(1),1，则它的不变因子是1,1,2)1(。6、在4[]Rx中定义内积为11(,)()()fgfxgxdx，则21()3fxx的长度是21015。二、（12分）设A为n级实对称矩阵，则A是半正定矩阵的充分必要条件是对于任意的正数，EA总是正定矩阵。证明：必要性：,0nXRX，有'()''XEAXXXXAX。因为0,0X，所以'0XX。又因为A是半正定矩阵，所以'0XAX。于是'()0XEAX，从而EA总是正定矩阵。………(4分)充分性：设A的特征值为12,,,n且12n。则EA的特征值为12,,,n。由于EA总是正定矩阵，故120n。若0n，则有02n，使得0n，此与0n矛盾，故0n，从而120n。所以A是半正定矩阵。…………………………………………(12分)三、（15分）设A是数域P上n维线性空间V的线性变换且2AA,证明：（1）A的特征值为1或0；（2）1(0){()|};VAA（3）1(0)();VVAA证明（1）设是A的特征值，是对应的特征向量，0,即,A因为2,AA故有22(),AAAA但0,故2,10.或………………………………（5分）（2）10|V（0），则＝，因此＝AAAA12|,0VV（0）又＝＝AAAAAA命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学试卷教务处07版第2页共3页111||.VV（0），（0）,从而（0）＝AAAAAA………………………………………………………（10分）（3）,,VAA则1()(0),VVAA又11()(0),()(0),VVVV，是的子空间AAAA从而1()(0),VV＝AA由（2）知10(0),V＝A，可以证明1(),VV＝A所以1()(0){0},VAA（或1dim()dim(0)dimVVAA）即可得1()(0).VV＝AA………（15分）四、（18分）设二次型12341234(,,,)22fxxxxxxxx1．写出这个二次型的矩阵A；2．求A的特征值及其线性无关的特征向量；3．求一个正交线性替换X=TY，将1234(,,,)fxxxx化为标准形；4．判断1234(,,,)fxxxx的正定性．解：1．原二次型对应的矩阵为0100100000010010A………（3分）2．A的特征多项式为22(1)(1)EA特征值为12341,1……………………（6分）121相应的特征向量为121,1,0,0,0,0,1,1………（9分）341相应的特征向量为341,1,0,0,0,0,1,1……（12分）3．标准正交基为2111,1,0,0,0,0,1,1223411,1,0,0,0,0,1,12令X=TY,其中101010101010120101T则'22221234XAXyyyy……………………………（16分）4．二次型的正惯性指数p=20，且负惯性指数q=20，所以二次型是不定的．………………………………………………（18分）五、（15分）已知复矩阵126103114A，1．求A的不变因子、初等因子；2．求A的若尔当标准形．解：1．EA＝12613114210001000(1)…………（5分）A的不变因子为1，21(1)，，初等因子为21(1)，。………………………………………………………………（11分）2．A的若尔当标准形为100010011…………………………（15分）重庆大学试卷教务处07版第3页共3页六、（12分）欧氏空间V中的线性变换A称为反对称的，如果对任意V,，（,A）（，A），证明：1.A为反对称的充分必要条件是，A在一组标准正交基下的矩阵为反对称的；2.如果1V是反对称线性变换A的不变子空间，则1V也是．1.证明：（1）必要性。设A是反对称线性变换，且A在标准正交基12,,,n下的矩阵为A。则有A1122,1,2,,iiininaaain。于是（Ai，j）＝jia，（i，Aj）＝ija。又因为A是反对称线性变换，所以ija＝－jia，从而A是反对称矩阵。…………………………………………………………………………（4分）充分性。设A在标准正交基12,,,n下的矩阵为反对称矩阵A，其中(),ijnnijjiAaaa。则有（Ai，j）＝jia＝－ija＝－(i，Aj）。,V，设1111,nnnnaabb，于是（A，）＝（1aA1naA11,nnnbb）＝,ijijab（A,i)j＝,(,ijiijabA)j＝－（1a1na1,nbA1nbAn）＝－（，A）。所以A是反对称线性变换。…………………………………………（8分）（2）,WW。因为W是A的不变子空间，故AW。于是，由A是反对称线性变换，得（A，）＝－（，A）＝0。所以W也是A的不变子空间。……………………………………（12分）七、（7分）设A为实对称矩阵，B为实反对称矩阵，且ABBA，AB可逆。证明1()()ABAB为正交矩阵。证明：11111111(()())'()()('')('')()()()()()()()()()()ABABABABABABABABABABABABABABABABE于是1()()ABAB为正交矩阵。……………………………（7分）