2010高考数学二轮复习(16)导数及其应用教案

用心爱心专心导数及其应用【专题要点】1.导数的定义:利用导数的定义解题;2.求导数(包括求导函数和某一点的导数);3.导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高;4.导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);5.综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：（1）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；（2）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；（3）利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题；（4）通过构造函数，以导数为工具证明不等式；（5）导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个方向【考纲要求】⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．⑵熟记基本导数公式（,nCx(n为有理数),sin.cos,log,,,lnxxaxxxaex的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【知识纵横】用心爱心专心000000001lim12213,2,.14xfxxfxfxxuauuvuvv定义：公式：①常函数，②指，③对，④幂，⑤复合函数。运算法则：①，②，③，④物理意义：瞬时速度及加速度斜率：求法有三①知两点②知倾角③求导意义：①在该点出的切线方程几何意义切线方程：②过某点做曲线的切线方程③知切线求参数值导数应用：.2.34.fxfx①证明或判断单调性；单调性②求单调区间；③知单调，求参数范围①求极值；求两函数值②求最值；③知极值或最值，求参数值与的图像关系①证明不等式；综合应用②比较实数大小；③讨论方程根的个数【教法指引】（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链向学生展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如讲解利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间知函数在区间上单调求参数若函数不单调如何求参数．（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅体现在导数为解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识（3）在教学中有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题【典例精析】1.导数定义的应用用心爱心专心例1(2008北京高考）如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，011limxfxfx_________．解：由图可知3222042xxxxxf　　　　　，根据导数的定义知011limxfxfx21f．例２(2006重庆高考)已知函数xecbxxxf2,其中Rcb,，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若,142cb且4lim0xcxfx，试证：26b．解：xecbxbxxf22，易知cf0．故cbfxfxfxcxfxx000limlim00，所以,14,42cbcb解得26b．2.利用导数研究函数的图像例3（2009安徽高考）设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是解：/()(32)yxaxab，由/0y得2,3abxax，∴当xa时，y取极大值0，当23abx时y取极小值且极小值为负．故选C．或当xb时0y，当xb时，0y选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4（2009年湖南卷）若函数()yfx的导函数．．．在区间[,]ab上是增函数，则函数()yfx在区间[,]ab上的图象可能是2BCAyx1O34561234用心爱心专心A．B．C．D．解:因为函数()yfx的导函数．．．()yfx在区间[,]ab上是增函数，即在区间[,]ab上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．解：（1）32()1fxxaxx求导得2()321fxxax当23a时，0，()0fx，()fx在R上递增；当23a，()0fx求得两根为233aax，即()fx在233aa，递增，223333aaaa，递减，233aa，递增。（2）因为函数()fx在区间2133，内是减函数，所以当2133x，时0fx恒成立，结合二次函数的图像可知203103ff解得2a．ababaoxoxybaoxyoxyby用心爱心专心点评：函数在某区间上单调转化为导函数0fx或0fx在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在223333aaaa，上递减，所以2232333133aaaa求解．【变式1】（2004年全国高考）若函数11213123xaaxxxf在区间4,1上是减函数，在区间,6上是增函数，求实数a的取值范围．解：12aaxxxf，令0xf得1x或1ax，结合图像知614a，故7,5a．点评：本题也可转化为4,10xxf，恒成立且,60xxf，恒成立来解．【变式2】(2005年湖南高考)已知函数0221ln2axaxxxf存在单调递减区间，求a的取值范围；解：.1221)(2xxaxaxxxxf因为函数xf存在单调递减区间，所以0xf在,0上解，从而0122xax有正解．①当0a时，122xaxy为开口向上的抛物线，0122xax总有正解；②当0a时，122xaxy为开口向下的抛物线，要使0122xax总有正解，则044a,解得01a．综上所述，a的取值范围为,00,1．【变式3】（2009浙江高考）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．解：函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于0xf在区间)1,1(上有实数解，且无重根．又21232aaxaxxf，由0xf，得32,21axax。从而用心爱心专心,32,11aaa或.32,1321aaa解得,21,11aa或,21,15aa所以a的取值范围是.1,2121,5点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6（2009江西高考）若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或7解：设过(1,0)的直线与3yx相切于点300(,)xx，所以切线方程为320003()yxxxx即230032yxxx，又(1,0)在切线上，则00x或032x，当00x时，由0y与21594yaxx相切可得2564a，当032x时，由272744yx与21594yaxx相切可得1a，所以选A.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（2008辽宁高考）设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（）A．112，B．10，C．01，D．112，解：由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，可得曲线C在点P处切线的斜率范围为10，，又22xy，设点P的横坐标为0x，则12200x，解得2110x，故选A．5.利用导数求函数的极值与最值例7（2009天津卷理）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR用心爱心专心（1）当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。（I）解：.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3))1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II）.42)2()('22xeaaxaxxf解：.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若＞32，则a2＜2a.当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+0—0+↗极大值↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若＜32，则a2＞2a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+0—0+↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2