(信息学奥赛辅导)排列与组合基础知识

第1页排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类中办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同方法。那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法，这一原理叫做加法原理。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。公式：阶乘公式!(1)(2)321nnnn，规定0！＝1；全排列公式!nnPn选排列公式!(1)(2)(1)()!mnnPnnnnmnm、mmmnnmPCP圆排列：n个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!nnn组合数公式(1)(2)(1)!!!()!mmnnmmPnnnnmnCPmmnm、规定01nCmnmnnCC、11mmmnnnCCC、0122nnnnnnCCCC）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。（2）书写方式：rnP记为P（n,r）；rnC记为C（n,r）。加法原理例题：图1中从A点走到B点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A点走到B点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A走到B共有多少种方法？（答案：28、42）AB图1AB图2AB图3AB图4第2页注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。因此对于加法原理、乘法原理、排列、组合等知识，需要非常熟练，以达到简化问题的目的。对于转变为递推公式的问题，我们将在后续专题中另行讲解。加法原理、乘法原理、排列、组合例题：1.（1）用数字0、1、2、3能组成多少个三位数？（2）要求数字不能重复，又能组成多少个三位数？（提示：（1）先确定百位数，只能是1、2、3之间的数字；再确定十位数，可以为0、1、2、3任何一个；最后确定个位数，可以为0、1、2、3任何一个。根据乘法原理，共有3×4×4＝48个。（2）同理，先确定百位数、再确定十位数、最后确定个位数，根据乘法原理，共有3×3×2个）2.国际会议洽谈贸易，有5家英国公司，6家日本公司，8家中国公司，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，问需要安排多少个会谈场次？（提示：共分为中英、中日、英日会谈三类，对于中英会谈，先选定中方公司有8种选法，在选定英方公司有5种选法，故根据乘法原理有5×8：同理中日8×6；英日5×6；总的会谈：118）3.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要摆放在书架上，问有多少种不同的摆放方案数。（提示：此题为全排列，故摆放方案总数为P(5,5)=5!=120种。也可以按乘法原理思考，即摆放第一本书有5种选择，摆放第二本数有4种选择，……，最后结果为5×4×3×2×1即5！）4.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书摆放在书架上，问有多少种不同方案。（提示：可根据选排列公式计算，总数为P(5,3)。也可以根据乘法原理计算，答案为5×4×3＝60）5.有编号为1、2、3、4、5的五本书需要任选3本书，问有多少种方法。（提示：此题为组合问题，答案为355433!C＝10）6.五种不同颜色的珠子串成一圈项链，问有多少种不同的方法。（提示：此题属于圆排列问题，答案为（5－1）！＝24）7.把两个红色球、两个蓝色球、三个黄色球摆放在球架上，问有多少种方案。（提示：此题为排列问题。摆放方案总数为（2＋2＋3）！种，但是两个红球一样，所以要除以2！，同理两个蓝球，除以2！，三个黄球，除以3！，即摆放方案总数为(223)!2102!2!3!）8.有男女各5人，其中3对是夫妻，他们坐成一排，若每对夫妻必须相邻而坐，问有多少种方法？（提示：因为3对夫妻必须相邻而坐，因此可以将每对夫妻看为一个整体进行排列，这样排列总数为（7!）种方法，又因为每对夫妻可以可以左右调换位置，因此总的方案为（7！×2×2×2））9.（1）把3个相同的球放到4个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？（2）把4个相同的球放到3个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？（3）推广开来，把R个相同的球放到N个不同颜色的盒子中去，问有多少种方法？（提示：这是允许重复组合的典型模型。）（解答（1）：3个球放入4个不同颜色盒子的分法共有3、0、0、0；1、2、0、0；1、1、1、0三类；对于第一类3、0、0、0的方法，共有44P种方法，但是有3个0是一样的，所以应该除以33P，即第一类分法的方法数为4343/PP种，同理，第二种分法的方法数为4242/PP，第三种分法的方法数为4343/PP，所以总共的方法数为（4343/PP＋4242/PP＋4343/PP）种。解答（2）自行求解。解答（3）：这一类问题，我们称为重复组合问题，其求解公式为C（n+r-1,r）。请记住该公式即可。）第3页排列组合练习习题：1.有5本日文书、7本英文书、10本中文书。问（1）从中任取2本书有多少种方案？（2）从中取2本相同文字的书有多少种方案？（3）从中取2本不同文字的书有多少种方案？（提示：此题为组合问题。答案分别为：25710C、2225710CCC、222257105710()CCCC）2.把八个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃（即在任何一行、任何一列都只有一个“车”），那么称八个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态？（提示：乘法原理。先在第一行放置一个“车”，有8种选法，再在第二行放置一个“车”，还有7种选法，同理……，总共有8×7×…×2×1，即8！种不同的安全状态。）3.从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，问有多少种方案？（提示：1～300之间的数被3除的余数共有三类，分别是余数为0、余数为1、余数为2，每类各100个数。任取3个数且这3个数相加的和正好被3除尽的情况只能是以下四种情况之一：余数为0＋1＋2；0＋0＋0；1＋1＋1；2＋2＋2。再根据乘法原理和加法原理即可求解。答案为：100×100×100＋100×99×98＋100×99×98＋100×99×98）4.5对夫妇围绕圆桌坐下吃饭，共有多少种方案？如果要求夫妇必须坐在一起，又有多少种方案？（提示：此题为圆排列问题。第一问的答案为（10－1）！。对于第二问，因为夫妇必须坐在一起，因此可以将每对夫妇看为一个整体先行进行圆排列，排列方案为（5－1）！，又因为每对夫妇可以左右交换位置，因此总的排列方案为（5－1）！×2×2×2×2×2。）5.N个男同学和N个女同学围绕圆桌坐下，要求男女必须交替就座，问共有多少种就座方法？（提示：先经这N个男同学进行圆排列，方案为（N－1）！，然后每个女同学依次坐入到两个男同学中间，第一个女同学有N个位置可以选，第二个女同学有N－1个位置可以选，依此类推。根据乘法原理，所有的就座方案为（N－1）！×N！）6.8人站成一排排队，如果其中的甲和乙两人要求一定站在一起，问有多少种排队方法？如果甲和乙两人要求一定不站在一起，又有多少种方法？（提示：第一问中，甲和乙一定站在一起，因此可以先将此二人看为一个整体，则排队方法为7！，又因为甲和乙可以交换位置，因此总的方案为7！×2。对于第二问，则用8个人的总排队方案数减去甲和乙站在一起的方案数即可，答案为8！－7！×2。）7.有N个男同学和M个女同学站成一排，其中这M个女同学要求站在一起，问共有多少种排队方法？（提示：排列问题＋乘法原理。分两步：第一，先将这M个女同学看成一个整体排列；第二，再将这M个女同学再排列。然后根据乘法原理即可求得。答案为：（N＋1）！×M！）8.一个长度为N＋M个字符的01字符串，问其中有N个1的字符串有多少个？（提示：组合问题。现有N＋M个字符，如果把1看作取字符，把0看作不取字符，那么其中有N个1的字符串即相当于从N＋M个字符中，任取N个字符的组合。答案为：C（N＋M，N））9.一个N*M（N表示行，M表示列）的网格，从左上角（1，1）点开始走到右下角（N，M）点，每次只能向右或者向下走，问有多少种不同的路径。（方法一：从（1，1）点走到（N，M）点，无论如何走一共都要走（N－1）＋（M－1）步，其中N－1步向右走，M－1步向下走，因为只有两种走法，不妨用二进制表示走路方式，1表示向右走，0表示向下走。则可用一个长度为（N＋M－2）的二进制串来表示走路方法，其中如果出现了N－1个1，则表示找到了一种路径。从而把题目转化为求长度为N＋M－2的2进制串中有N－1个1的个数，即求组合数学公式C（N＋M－2，N－1）的值。1111112345136101514102035第4页方法二：对本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的某个点，只能从该点的上边过来，或者从该点的左边过来，根据加法原理，要到达该点的路径数目，就等于到达该点上点的路径与该点左点的路径数目之和，因此我们可以按照逐行递推的方法求出从起点到终点的路径数目。初始化，左上角第一个元素值为1，其它点的值为上点与左点的和。）对于如右图的网格，用方法一的答案为C（4＋3，3）＝35；用方法二逐行递推的方法得到网格上的数字，最后答案也为35。比较两种方法，当数据较小时，采用公式一比较直接，但如果数据较大时，公式一的乘法运算量较大，这时可考虑用方法二逐行递推求得答案。10.在上题中，若规定NM，行走方向仍然只能是向右或者向下行走，并且要求所经过的每一个点的坐标(a,b)恒满足ab的关系（a为行坐标，b为列坐标），问有多少条路径？（测试数据：N＝4，M＝5；答案：）11.在上上题中，如果其中有X个点设置有障碍而无法通过，问有多少条路径？其中X的值以及这X个点的坐标由键盘输入。（测试数据：N＝5，M＝4，X＝2，这2个障碍点坐标为（2,3）和（4,2）；答案：）12.一个由N个0和N个1组成的01字符串，要求从左往右，1的个数始终不少于0的个数的字符串共有多少个？如N＝1时，只有字符串10；如N＝2时，有1100、1010两个字符串；如N＝3时，有111000、110100、110010、101100、101010五个字符串。（提示：该字符串的长度为2N，其中规定有N个1，即相当于从2N个字符中取出N个字符，方案数为C（2N，N）。该题还规定从左往右，1的个数始终不少于0的个数，那么在C（2N，N）个方案中，必定有一些排列方案不符合要求，那么是哪些不符合要求呢？我们看N＝2的例子，此时所有的排列方案有0011、0101、0110、1001、1010、1100六种，其中只有1010和1100两种方案符合要求，为什么呢？实际上，在N＝2时，即有N个1，这样，我们将任意一个0填充到这N个1中的方案数有N＋1种，如下图有①、②、③三个格子可以填充0，但是要保证所有的0总在1之后，因此也就只有③的位置符合要求（如1100和1010我们都认为是所有的0在1的右边，而1001则有一个0不在1的右边），即只有C（2N，N）的1／（N＋1）种方案符合要求。所以答案为：C（2N，N）／（N＋1））。该数列称为Catalan数列，其数列为1、2、5、14、42……。对于此问题，有许多变形应用，请熟记该公式。）①1②1③（举一反三：一个由N个0和N个1组成的01字符串，要求从左往右，1的个数始终不多于0的个数的字符串共有多少个？同理：相当于1的位置只能排在所有0的位置之后，因此个数同样为：C（2N，N）／（N＋1）。）13.用N个A和N个B排列成一个字符串，要求从左往右的任意一位，A的个数不能少于B的个数，问有多少种排列方案。14.有2N个顾客排队购买一种产品，该产品的售价为5元，其中N个顾