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1第10练重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望]函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.常考题型精析题型一基本函数模型的应用例1(1)(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟(2)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝13x3－80x2＋5040x，x∈[120，，12x2－200x＋80000，x∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.①当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？2点评解决实际应用问题关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.变式训练1(1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价以按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以使每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.题型二分段函数模型的应用例22015年4月，某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫3克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝x216＋2，0x≤4，x＋142x－2，x4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值.点评函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.4(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式；(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？(注：每件销售利润＝售价－进价)高考题型精练1.(2015·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2.(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B.p＋q＋－12C.pqD.p＋q＋－13.(2014·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处5开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A.y＝1125x3－35xB.y＝2125x3－45xC.y＝3125x3－xD.y＝－3125x3＋15x4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只5.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)()A.2015年B.2011年C.2016年D.2008年6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单元：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元7.(2014·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________.(单位：元)8.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年.9.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余6的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.10.(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.11.为了保护学生的视力，课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0课桌高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？12.某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创纯收益0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140a≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员)7答案精析第10练重应用——函数的实际应用常考题型精析例1(1)B[根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，消去c化简得7a＋b＝0.1，9a＋b＝－0.3，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.0.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－15(t2－152t＋22516)＋4516－2＝－15(t－154)2＋1316，所以当t＝154＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.](2)解①当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋400x－80000＝－12(x－400)2，所以当x∈[200,300]时，S0，因此该单位不会获利.当x＝300时，S取得最大值－5000，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.②由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx＝13x2－80x＋5040，x∈[120，12x＋80000x－200，x∈[144，500].(ⅰ)当x∈[120,144)时，yx＝13x2－80x＋5040＝13(x－120)2＋240，所以当x＝120时，yx取得最小值240.8(ⅱ)当x∈[144,500]时，yx＝12x＋80000x－200≥212x×80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时，yx取得最小值200.因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.变式训练1(1)B(2)y＝a3x(x∈N*)解析(1)由表知：汽车行驶路程为35600－35000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2)设每台新价为b，则售价b(1－25%)，让利b×25%，由于原价为a，则进价为a(1－20%)，根据题意，得每件家电利润为b×(1－25%)×20%＝b×(1－25%)－a(1－20%)，化简得b＝43a.∴y＝b×25%·x＝43a×25%×x＝a3x(x∈N*)，即y＝a3x(x∈N*).例2解(1)由题意，得当药剂质量m＝4时，y＝x24＋8，0x≤4，2x＋28x－1，x4.当0x≤4时，x24＋8≥4，显然符合题意.当x4时，2x＋28x－1≥4，解得4x≤16.综上0x≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由y＝m·f(x)＝mx216＋2m，0x≤4，mx＋2x－2，x4，得当0x≤4时，y＝mx216＋2m在区间(0,4]上单调递增，即2my≤3m；当x4时，y′＝－30mx－20，9所以函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y3m，综上知，7m4≤y≤3m，为使4≤y≤10恒成立，只要7m4≥4且3m≤10即可，即167≤m≤103.所以应该投放的药剂量m的最小值为167.变式训练2解(1)P＝10＋2t，t∈[0，5]，t∈N，20，t，10]，t∈N，40－2t，t，16]，t∈N.(2)设该服装每件销售利润为L元.由题意，得L＝10＋2t＋t－2－12，t∈[0，5]，t∈N，20＋t－2－12，t，10]，t∈N，40－2t＋t－2－12，t，16]，t∈N＝0.125t2＋6，t∈[0，5]，t∈N，0.125t2－2t＋16，t，10]，t∈N，0.125t2－4t＋3