(初中)数学教学教什么和怎么教

数学教学：教什么和怎么教李祎福建师范大学数学与计算机科学学院目录一、数学教师应具备的素质二、数学教学“为什么教”三、数学教学“教什么”四、数学教学“怎么教”五、数学教学“教得怎么样”一、数学教师应具备的素质庸师：如同庸医，不仅不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。教书匠：知识的搬运工，把自己会的东西简单的搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻误学生一生，但也没有太大发展。经师：不仅能教给学生知识和技能，并且能培养学生一定的能力，属于较高水平的教师。人师：不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在思想上、人格上影响学生，使学生在获得知识、培养能力的同时，还产生了智慧，形成了健康人格。深入深出型，自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。浅入深出型，自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。浅入浅出型，自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知识。深入浅出型，自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。如何做到“深入浅出”呢？教师的知识结构：本体性知识，条件性知识，实践性知识，一般文化知识。数学教师“两手抓，两手硬”：数学素养与教育理论素养。数学教学“三吃透”：吃透教材、吃透学生和吃透理论。数学教学设计的关键：理解数学与稚化思维；先解构，再建构；处理好历史序、逻辑序与心理序的关系。如何提高自身素养呢——以数学素养为例（1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解（2）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握（3）对显性知识背后隐性的思想方法的认识（4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知（5）对数学知识“来龙去脉”的过程性把握（6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识通过“追问”：形成正确认识，获得深层理解，拓展学科知识，获得较高观点。二、数学教学“为什么教”数学教育：以数学学科为载体培育人教育是一把“双刃剑”对中美教育的比较和反思数学教育现象反思：懂而不会和会而不懂真正的教育是什么？——西点军校的启示数学教育仅仅是为了考试和分数吗？数学教育已退化和沦陷为单纯的解题训练——解题教学押题猜题讲类型化例题练公式化步骤做模拟试题教得分方法考试高分低能动手能力差应用能力弱创造水平低解题教学新八股三、数学教学“教什么”教学的本质教学：就是“教学生学”。学生：学什么；怎么学。教师：“教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学”。教师：“怎样教”是指“怎样教学生学什么”和“怎样教学生怎么学”。高水平教师与普通教师的差别在哪里？（一）教学生学“本质”（二）教学生学“过程”（三）教学生学“思想”（四）教学生学“结构”（一）教学生学“本质”1.数学概念的本质概念是反映事物本质属性的思维产物.数学：空间形式和数量关系.数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物.本质属性：共有性，特有性，整体性。示例1：集合的本质幼儿园小孩子学集合示例2：距离初中阶段学过的“距离”：“两点之间的距离”；“直线外一点到已知直线的距离”；“两平行线之间的距离”。距离的本质：图形P内的任一点与图形Q内的任一点间的距离中的最小值，叫做图形P与图形Q的距离。把握住这一本质，高中阶段学习“点到平面的距离”“直线到与它平行的平面的距离”“两个平行平面的距离”“异面直线的距离”的概念时，学生也能做到不教自明。示例3：概率的统计定义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件发生的概率P（A）=p。（九年级上册）频率稳定于概率，不是说频率的极限是概率，稳定于p不能写成：nnpnnnlim“稳定于p”意味着对，有即是说只要n充分大，那么频率充分接近概率的概率就是1。大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。实验目的在于体验用大数次实验的频率来估计概率的方法，而不在于验证可能性相等。nn01)(|limpnPnn示例4：方程方程的定义“含有未知数的等式叫方程”，并没有反映方程的本原思想。教师在方程定义的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，没有实质性的意义。绝对没有学生因为背不出这句话而学不会“方程”的。方程的本质在于对已知数和未知数一视同仁，通过建立起已知数和未知数之间的等式关系，从而求得未知数。理解方程的本质，首先要理解等式的意义。例如，3＋2＝5和3＋2＝1＋4虽然都是等式，但是两个“＝”却可以有着完全不同的意义：前者的“＝”表示的是“求取解答”的过程，它的方向是从左到右，等号两边并不具有同等的地位，这就是等式的“程序性观点”；后者的“＝”表示两边的计算结果相等，等号两边具有同等的地位，它们都是3＋2＝1＋4这一整体性数学“结构”的一个部分，这就是等式的“结构性观点”。学习用字母表示数之前，是过程层面的思维方式，其思维定式是列出算式就要算出确定结果。这种思维方式对将一个代数式作为思考对象是不能接受的，总觉得“这样还没算完”。对象层面的思维方式更多地关注算法本身，结果是次要的。学习用字母表示数的难点是：既要体会用字母表示数的概括性，更要体会含字母的式子也能看做最后结果。学生认识方程本质的最大困难就在于受“程序性观点”的影响，始终拘泥于具体的运算，而不能把方程看成一个两边相等的整体结构。（“连等”现象：x-5=8=x=8+5=x=13.）认识方程的意义，需要从两个方面入手：一是认识方程的显性特征，即“含有未知数”和“等式”。可以采用两次分类的方法，通过比较帮助学生认识方程的外部特征。二是认识方程的隐形特征。认识方程的意义，更为重要的是要帮助学生逐步克服算术思想的影响，逐步实现学生对等式的“程序性观点”向“结构性观点”的转变，使学生体会到方程是表示已知量和未知量之间相等关系的一种数学模型。更一般地看，算术运算与代数运算的区别在于:区别一：算术运算处理具体数字，而代数运算处理抽象符号。算术运算针对已知量进行操作，每个数字代表确定的意义；代数运算用抽象的符号表示未知量，再对符号进行运算变换。区别二：算术思维是特殊化思维，而代数思维是一般化思维。算术针对特定情境中的具体问题进行具体分析，采用的是特殊化思维方式；代数则可以脱离具体情境，概括问题的一般化特征。区别三：算术关注解决问题的程序，而代数则重视问题的结构。算术关注解决问题的具体方法和策略；代数则关注从问题中抽象出来的结构关系式，并对该关系式进行形式化操作。2.数学结论的本质（1）人为约定的结论数学知识不是“铁板一块”示例5:0为什么不能作除数示例6：分数为什么要这样相加减？示例7：为什么要“先乘除后加减”示例8：为什么要规定a0=1?示例9：集合的“三性”(教学之可为；教学之不可为)（2）可以证明的结论思考：什么样的数学结论，有资格成为数学定理或公式？经常用到，推证不易，形式简单。经常不用：梅涅劳斯定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=1FBAFEACEDCBD塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则推证容易：弧长公式；扇形面积公式，。1PACPNCBNMBAM180nRl2360nRS12SlR形式复杂：正切定理：设的三边分别为，则有下面的结论：ABCabc、、tan2tan2BCbcBCbctan2tan2ABabABabtan2tan2CAcaCAca理解命题的功用：示例10：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式是乘法公式的一种。多项式的乘法法则是一个一般性的法则，乘法公式是整式乘法法则的下位，是一般法则形式下特殊形式的特征。将“特例”作为“公式”，主要基于以下考虑：第一，为符合公式特征的整式乘法运算带来方便；第二，为后续学习奠定基础，如“用公式法分解因式”“分式的运算与化简”“解一元二次方程”等。方法论意义：其一是“特殊化”思想。建立在“多项式乘以多项式”基础之上的“平方差公式”，承载的不仅仅是一个数学公式本身，它反映了从“一般”到“特殊”的研究数学问题的基本策略。其二是“归纳”思想。通过观察一系列具有某种结构特征的“多项式乘以多项式”的结果，“归纳”出符合这种“结构特征”的共同“规律”，这就是平方差公式，其中的符号可以代表任何“数字”、“字母”、“式子”。理解命题的内容：示例11：三角形面积公式的理解三角形面积公式的得出。三角形面积公式另解：在三角形中，AD和BE是三角形两条边上的高，通过相似三角形原理，得到下面的性质：三角形的底边与高的乘积是一常数，只与三角形本身有关，而与所选的底边无关。把这个乘积与某一常数k的乘积称为三角形的面积。对于k的取值，一旦确定后就不再变更。这个k应如何取？为此，要做一些规定，k的取值必须使得边长为1的正方形的面积为1。正方形可以分割成两个直角三角形，S=k+k=1，所以k=1/2.则三角形的面积公式为：S=1/2底×高。ABCD示例12：三角形全等的条件三角形全等，即看所给条件能否完全的、唯一的确定一个三角形。“隐藏”掉三角形的任意一条边或任意一个角，确定三角形的基本条件并没有改变；但再继续减少条件，就不能保证完全确定这个三角形了。不妨称实线部分为描述的“最简条件”。事实上，正是因为“边边边”、“边角边”、“角边角”等条件都能描述出这个“最简条件”，所以它们成为证明三角形全等的充分条件，而“边边角”却不能。ABC进一步探究可发现，当满足以下条件时，“边边角”可作为三角形全等的判定条件：（1）若两个三角形均为直角三角形，则它们全等。（2）若两个三角形均为钝角三角形，则它们全等。（3）若两个三角形均为锐角三角形，则它们全等。（4）若已知两边相等时，则它们全等。（5）若已知角的对边为已知两边中的大边时，则它们全等。（正弦定理求解时得一解）理解命题的证明：波利亚：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？示例13：多边形外角和定理凹多边形的外角和：凹角形成的顶点处，角是顺时针旋转；凸角形成的顶点处，角是逆时针旋转。把逆时针旋转的角度视为正角，把顺时针旋转的角度视为负角。闭曲线的“外角和”：行走方向时时在改变。结论：“角度改变量的代数和是360度”，或“方向改变量的代数和是360度”A3.数学方法的本质示例14：十字相乘法不仅适用于二次三项式（八上“观察与猜想”）：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)将任意代数式分成三项之和：f(x)=A+B+C若A=ab,C=cd,且ad+bc=B,即有下面的十字关系：则f(x)=(a+c)(b+d)abcd示例15：反证法的实质（九上“圆”）反证法的逻辑基础是排中律。矛盾律：同一对象的两个互相矛盾的判断不能同真,至少有一个是假的（a大于b,a小于b）；排中律：同一对象的肯定判断和否定判断必有一个是真的。反证法有效性的原因：有效增设反证法就是等价于证明原命题的逆否命题吗？pqpqrrqp过程与结果的辩证关系：科学意义，教学意义过程性是追求的目标：三个层次过程性作为目标的意义：本质，方法，理解，能力过程性的完整含义：知识的，思维的，活动的“谁”的过程性：教师，还是学生？怎样的过程性：结果的，还是过程的？过程性观下之审视：预习、作业、备课二、教学生学“过程”弗赖登塔尔：“火热的思考”变成“冰冷的美丽”，教材是“教学法的颠倒”。数学的形态：原始形态、学术形态和教育形态。“学术形态”转化为“教育形态”——稚化思维的策略教学时不以知识丰富的教师自居，而是把自己的