(含答案)应用题-高三数学提优辅导

1高三数学提优辅导——应用题训练（三）1、某森林失火了，火势正以平均每分钟200m2的速度顺风蔓延，消防队员在失火后10分钟到达现场开始救火，已知每个队员平均每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人800元，而每烧毁1m2的森林的损失费为60元，消防队共派x名队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟．（1）求出x与n的关系．（2）问消防队派多少名队员前去救火，才能使得总损失最小？解：（1）由题意可知，消防队员到达现场时失火面积为10×200=2000m2又依题意可知，nnx002002050，∴404xn（x≥5，且*Nx）……………………………………6分（2）设总损失为y，则6050008125nxxnxy=xnx0083125=xxx0084043125……………………………………………………10分=0032)4(0084806250002501xx≥0082610128204806250)4(0082xx………………………14分当且仅当924806250)4(008xxx．答：消防队派92名队员前去救火，才使得总损失最小.………………………16分2、某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；…，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元．(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？解：(1)根据题意，当x＝18时，茶壶的价格为44元/个．则y1＝80－2xx，0＜x≤18，且x∈N*，44x，x＞18，且x∈N*.(4分)y2＝60x，x∈N*.(8分)(2)y＝y1－y2＝80－2xx－60x，0＜x≤18，且x∈N*，44x－60x，x＞18，且x∈N*.当x＝10时，y＝y1－y2＝0，即y1＝y2；(10分)当1≤x＜10时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＞0，即y1＞y2；(12分)当10＜x≤18时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)＜0，即y1＜y2；当x＞18时，y＝y1－y2＝－16x＜0，即y1＜y2.2答：当购买的茶壶数为10个时，到甲、乙两家茶具店花费一样多；当购买的茶壶数小于10个时，到乙茶具店购买花费较少；当购买的茶壶数大于10个时，到甲茶具店购买花费较少．(14分)3、某广告公司设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE、DF是两根支杆，其中AB＝2m，∠EOA＝∠FOB＝2x(0＜x＜π4)．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k(k＞0)，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．(1)试将y表示为x的函数；(2)试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？解：(1)因为∠EOA＝∠FOB＝2x，所以弧EF、AE、BF的长分别为π－4x,2x,2x.(3分)连结OD，则由OD＝OE＝OF＝1，∠FOD＝∠EOD＝2x＋π2，所以DE＝DF＝1＋1－2cos2x＋π2＝2＋2sin2x＝2(sinx＋cosx)．(6分)所以y＝2k[22(sinx＋cosx)＋π－4x]＋k(22＋4x)＝2k[22(sinx＋cosx)－2x＋2＋π](9分)(2)因为由y′＝4k[2(cosx－sinx)－1]＝0，(11分)解得cos(x＋π4)＝12，即x＝π12.(13分)又当x∈(0，π12)时，y′＞0，所以此时y在(0，π12)上单调递增；当x∈(π12，π4)时，y′＜0，所以此时y在(π12，π4)上单调递减．故当x＝π12时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．(16分)4、如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．(1)如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；(2)如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．解：(1)如右图，过S作SH⊥RT于H，3S△RST＝12SH·RT.(2分)由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离．(4分)RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图)，上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S△RST＝12×4×2＝4(km2)．(6分)(2)同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA＝θ，则有S四边形ABCD＝12×2×2×sinθ×2＋12×2×2×sin(π－2θ)＝4(sinθ＋sinθcosθ)0＜θ＜π2.(8分)令y＝sinθ＋sinθcosθ，则y′＝cosθ＋cosθcosθ＋sinθ(－sinθ)＝2cos2θ＋cosθ－1.(11分)若y′＝0，cosθ＝12，θ＝π3，又θ∈0，π3时，y′＞0；θ∈π3，π2时，y′＜0，(14分)所以函数y＝sinθ＋sinθcosθ在θ＝π3处取到极大值也是最大值，故θ＝π3时，场地面积取得最大值为33(km2)．(16分)5、某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R(m)的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA、EB、EC、ED所在圆的圆心都是O、半径都是R(m)、圆弧的圆心角都是θ(rad)；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h(m)，且hR；灯脚FA1、FB1、FC1、FD1是正四棱锥FA1B1C1D1是四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R(m)，四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ(rad)．已知灯杆、灯脚造价都是每米a(元)，灯托造价是每米a3(元)，其中R、h、a都为常数．设该灯架的总造价为y(元)．(1)求y关于θ的函数关系式；(2)当θ取何值时，y取得最小值？418.解：(1)延长EF与地面交于O1，由题意：∠A1FO1＝θ，且FO1＝Rtanθ，从而EF＝h－Rtanθ，A1F＝Rsinθ，(2分)y＝4θRa3＋h－Rtanθ＋4Rsinθa.(8分)(注：每写对一个部件造价得2分)(2)y＝Ra4θ3＋4－cosθsinθ＋ha，(9分)设f(θ)＝4θ3＋4－cosθsinθ，令f′(θ)＝4sin2θ＋3－12cosθ3sin2θ(11分)＝（1－2cosθ）（7＋2cosθ）3sin2θ＝0.∴θ＝π3.(12分)当θ∈0，π3时，y′0；θ∈π3，π2时，y′0，(13分)设θ∈θ0，π2，其中tanθ0＝Rh1，∴θ0π4.(14分)∴π3∈θ0，π2，∴θ＝π3时，y最小．(15分)故当θ＝π3时，灯架的总造价取得最小值．(16分)6、一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB、DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁5圆弧相切于点P.设∠CMN＝θ(rad)，试用θ表示木棒MN的长度f(θ)；(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．解：(1)如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线于S，并连结PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W.在Rt△NWS中，因为NW＝2，∠SNW＝θ，所以NS＝2cosθ.因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN.在Rt△QPS，因为PQ＝1，∠PQS＝θ，所以QS＝1cosθ，QT－QS＝2－1cosθ.①若S在线段TG上，则TS＝QT－QS.在Rt△STM中，MS＝TSsinθ＝QT－QSsinθ，因此MN＝NS＋MS＝NS＋QT－QSsinθ.②若S在线段GT的延长线上，则TS＝QS－QT.在Rt△STM中，MS＝TSsinθ＝QS－QTsinθ，因此MN＝NS－MS＝NS－QS－QTsinθ＝NS＋QT－QSsinθ.f(θ)＝MN＝NS＋QT－QSsinθ＝2cosθ＋(2sinθ－1sinθcosθ)＝2sinθ＋cosθ－1sinθcosθ(0＜θ＜π2)．(8分)(2)设sinθ＋cosθ＝t(1＜t≤2)，则sinθcosθ＝t2－12，因此f(θ)＝g(t)＝4t－2t2－1.因为g′(t)＝－4t2－t＋1t2－12，又1＜t≤2，所以g′(t)＜0恒成立．因此函数g(t)＝4t－2t2－1在t∈(1，2]是减函数，所以g(t)min＝g(2)＝42－2，即MNmin＝42－2.答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为42－2.(16分)7、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？6(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为4000×2000＝8000000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000＝200000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，(2分)所以函数表达式为：y＝f(x)＝800x＋xx－12×20＋9000＝10x2＋790x＋9000(x∈N*)．(6分)(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：g(x)＝fx2000x×10000＝510x2＋790x＋9000x(10分)＝50x＋900x＋79≥50×(2900＋79)＝6950(元)，(12分)当且仅当x＝900x，即x＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．(14分)8、心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1＝4x＋4；若在t(t＞4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为at＋42(a＜0)，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1)若a＝－1，t＝5求“二次复习最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意知，y2＝at＋42(x－t)＋8t＋4(t＞4)，(2分)所以y＝y2－y1＝at＋42(x－t)＋8t＋4－4x＋4(t＞4)．(4分)(1)当a＝－1，t＝5时，y＝－15＋42(x－5)＋85＋4－4x＋4＝－x＋481－4x＋4＋1≤－2481＋1＝