(新课标)2016届高三数学一轮复习第3篇第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理

1【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第3篇第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1、2、7、8、11与面积有关的问题6、10、15判断三角形形状3、13实际应用问题5、9综合应用4、12、14、16基础过关一、选择题1.(2014北京西城模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于(D)(A)4(B)(C)3(D)解析:cos(A+B)==-cosC,∴cosC=-,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,所以c=.故选D.2.(2014高考江西卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为(D)(A)-(B)(C)1(D)解析:由正弦定理可得2=2()2-1=2()2-1,因为3a=2b,所以=,所以=2×()2-1=.故选D.3.(2014江西省七校第一次联考)在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是(D)(A)等边三角形(B)不含60°的等腰三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,所以sinAcosB+cosAsinB=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=,故三角形为直角三角形.故选D.4.(2014烟台模拟)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lg,则A等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lg,整理得,lg(a+c)·(a-c)=lgb(b+c),∴(a+c)·(a-c)=b(b+c),3得b2+c2-a2=-bc.∴cosA==-,又A∈(0,π),∴A=.故选C.5.(2014广州调研)如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意,可得在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=,所以sinα=,所以tanα==.故选A.6.在△ABC中,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若内角A、B、C依次成等差数列,且不等式-x2+6x-80的解集为{x|axc},则S△ABC等于(B)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由于不等式-x2+6x-80的解集为{x|2x4},∴a=2,c=4,4又角A、B、C依次成等差数列,∴B=,于是S△ABC=×2×4×sin=2.故选B.二、填空题7.(2014惠州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为.解析:由余弦定理,得=cosB,结合已知等式得cosB·tanB=,∴sinB=,∴B=或.答案:或8.(2014菏泽一模)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,则b=.解析:根据正弦定理和余弦定理由sinAcosC=3cosAsinC得:·=3··∴a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),a2-c2=.解方程组∴b=4.答案:49.(2014大连联考)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是.5解析:在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,=,BC==10.在Rt△ABC中tan60°=,AB=BCtan60°=10.答案:1010.(2014高考新课标全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.解析:把正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC代入已知得(2+b)(a-b)=(c-b)·c,∴(2+b)(2-b)=(c-b)·c.∴4-b2=c2-bc,∴b2+c2-bc=4.∴cosA===.∴A=60°.又b2+c2=4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=bc·sinA=×bc=bc≤×4=.当且仅当b=c=2时取等号,故△ABC面积的最大值为.答案:三、解答题11.(2014高考北京卷)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.6(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解:(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.12.(2014高考湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.7(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=.故由题设知,cos∠CAD==.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD===.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-(-)×=.在△ABC中,由正弦定理,=.故BC===3.能力提升813.(2014咸阳三模)设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(+)·=0,则△ABC的形状是(C)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰非等边三角形解析:由题得2B=A+C,3B=π得B=,设AC中点D,则(+)·=2·=0即⊥得a=c.所以△ABC为等腰三角形,又因为B=,所以△ABC为等边三角形.故选C.14.(2014高考江苏卷)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.解析:由正弦定理可得a+b=2c,又cosC===≥=,9当且仅当a=b时取等号,所以cosC的最小值是.答案:15.(2014德州模拟)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,m=(sinA,1),n=(cosA,),且m∥n.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2,求△ABC的面积.解:(1)因为m∥n,所以sinA-cosA=0,tanA=.因为A∈(0,π),所以A=.(2)由正弦定理可得sinB==,因为ab,所以AB,B=或.当B=时,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.所以S△ABC=absinC=1+;当B=时,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,所以S△ABC=absinC=-1.故△ABC的面积为1+或-1.探究创新1016.(2014咸阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积为S=accosB.(1)若c=2a,求角A,B,C的大小;(2)若a=2,且≤A≤,求边c的取值范围.解:由三角形面积公式及已知得S=acsinB=accosB,化简得sinB=cosB,即tanB=,又0Bπ,故B=.(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2=3a2,∴b=a.∴a∶b∶c=1∶∶2,知A=,C=.(2)由正弦定理得=,即c==,由C=-A,得c===+1,又由≤A≤,知1≤tanA≤,故c∈[2,+1].