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1第1讲函数的图象与性质函数的定义域、值域及解析式1.(2013江西卷)函数y=ln(1-x)的定义域为(B)(A)(0,1)(B)[0,1)(C)(0,1](D)[0,1]解析:由题意知解得0≤x1.故选B.2.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(D)(A)[-1,2](B)[0,2](C)[1,+∞)(D)[0,+∞)解析:当x≤1时,由21-x≤2,知x≥0,即0≤x≤1.当x1时,由1-log2x≤2,知x≥,即x1,所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0,+∞).3.(2015吉安一模)若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则函数g(x)=+f(x)在[,3]上的值域为(A)(A)[2,](B)[2,](C)(0,](D)[0,+∞)解析:设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(3,),所以3α=,解得α=-.所以f(x)=.所以函数g(x)=+f(x)=+=+,2当x∈[,3]时,在x=1时,g(x)取得最小值g(1)=2,在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=+=,所以函数g(x)在x∈[,3]上的值域是[2,].故选A.函数的图象及其应用4.(2015安徽“江淮十校”十一月联考)函数y=f(x)=的大致图象是(B)解析:由函数解析式可得f(x)为偶函数,且当|x|≤1时,x2+y2=1(y≥0),因为y≥0,所以图象取x轴上方部分;当x1时,f(x)=,其图象在第一象限单调递减,所以选B.5.(2015广西柳州市、北海市、钦州市模拟)若f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]内g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,则实数m的取值范围为(D)(A)[0,)(B)[,+∞)(C)[0,)(D)(0,]3解析:当x∈(-1,0)时,x+1∈(0,1),由题意可得,f(x)=-1=-1,所以f(x)=因为g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,所以y=f(x)与y=mx+m的图象有两个交点,两函数图象如图,结合图象可知,0m≤时,两函数图象有两个交点.6.(2015山西三模)函数f(x)=若方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.解析:方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根可化为函数f(x)=与函数y=mx-的图象有四个不同的交点,作函数f(x)=与函数y=mx-的图象如下,由题意,C(0,-),B(1,0),故kBC=.当x1时,f(x)=lnx,f′(x)=,4设切点A的坐标为(x1,lnx1),则=,解得x1=,故kAC=,结合图象可得,实数m的取值范围是(,).答案:(,)函数的性质及其应用7.(2015北京卷)下列函数中为偶函数的是(B)(A)y=x2sinx(B)y=x2cosx(C)y=|lnx|(D)y=2-x解析:A选项,记f(x)=x2sinx,定义域为R,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-f(x),故f(x)为奇函数;B选项,记f(x)=x2cosx,定义域为R,f(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cosx=f(x),故f(x)为偶函数;C选项,函数y=|lnx|的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故为非奇非偶函数;D选项,记f(x)=2-x,定义域为R,f(-x)=2-(-x)=2x=,故f(x)为非奇非偶函数.故选B.8.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=.解析:由题意f(-1)=2×(-1)2+1=3,又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-3.答案:-39.(2014湖南卷)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=.解析:由偶函数的定义可得f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,所以2ax=-lne3x=-3x,所以a=-.答案:-10.已知函数f(x)在R上满足=0(λ≠0),且对任意的实数x1≠x2(x10,x20)时,有50成立,如果实数t满足f(lnt)-f(1)≤f(1)-f(ln),那么t的取值范围是.解析:根据已知条件及偶函数、增函数的定义可知f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以由f(lnt)-f(1)≤f(1)-f(ln)得f(lnt)≤f(1),所以|lnt|≤1,-1≤lnt≤1,所以≤t≤e,所以t的取值范围为[,e].答案:[,e]11.(2015广西河池模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=()1-x,则下列命题:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.其中正确命题的序号是.解析:由已知条件得f(x+2)=f(x),则f(x)是以2为周期的周期函数,所以①正确.当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=()1+x,函数y=f(x)的图象如图所示,由图象知②正确,③不正确.当3x4时,-1x-40,f(x)=f(x-4)=()x-3,因此④正确.答案:①②④12.(2015郑州模拟)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:①直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;②f(x+2)=-f(x);③当1≤x1x2≤3时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)0,则f(2015),f(2016),f(2017)从大到小的顺序为.解析:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是4,所以f(2015)=f(3),f(2016)=f(0),f(2017)=f(1).因为直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴,所以f(2016)=f(0)=f(2).由1≤x1x2≤3时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)0,可知当1≤x≤3时,6函数单调递减,所以f(2017)f(2016)f(2015).答案:f(2017)f(2016)f(2015)一、选择题1.(2014湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是(A)(A)f(x)=(B)f(x)=x2+1(C)f(x)=x3(D)f(x)=2-x解析:因为y=x2在(-∞,0)上是单调递减的,故y=在(-∞,0)上是单调递增的,又y=为偶函数,故A正确;y=x2+1在(-∞,0)上是单调递减的,故B错;y=x3为奇函数,故C错;y=2-x为非奇非偶函数,故D错.故选A.2.(2015临沂模拟)函数y=f(x)=ln()的图象大致是(A)解析:因为函数y=ln(),所以x+sinx≠0,所以x≠0,故函数的定义域为{x|x≠0}.再根据y=f(x)的解析式可得f(-x)=ln()=ln()=f(x),故函数f(x)为偶函数,故函数的图象关于y轴对称,排除B,D.当x∈(0,1)时,因为0sinxx1,7所以01,所以函数y=ln()0,故排除C,只有A满足条件,故选A.3.(2015开封二模)已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=（log3）·f（log3）,则a,b,c的大小关系是(B)(A)abc(B)cab(C)cba(D)acb解析:因为当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)0成立,即[xf(x)]′0,所以g(x)=xf(x)在(-∞,0)上是减函数.又因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)=xf(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为30.31logπ30log3=-2,2=-log330.31logπ30,所以（-log3）f（-log3）30.3·f(30.3)(logπ3)·f(logπ3),即（log3）f（log3）30.3·f(30.3)(logπ3)·f(logπ3),即cab.故选B.4.(2015武汉市2月调研)若函数f(x)=在[2,+∞)上有意义,则实数a的取值范围为(C)(A){1}(B)(1,+∞)(C)[1,+∞)(D)[0,+∞)解析:由函数f(x)在[2,+∞)上有意义,得ax-2≥0在[2,+∞)上恒成立,则解得a≥1,故选C.85.(2015鹰潭二模)已知函数f(x)=+2015sinx在x∈[-t,t]上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为(B)(A)0(B)4032(C)4030(D)4034解析:记g(x)=,则g(x)==2015+,记p(x)=,则p(-x)==.因为函数y=2015sinx是奇函数,它在[-t,t]上的最大值与最小值互为相反数,所以最大值与最小值的和为0.又因为y=2015x+1是[-t,t]上的增函数,所以M+N=2015++2015+=4032,故选B.6.(2015西安模拟)已知g(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)f(x),则x的取值范围是(C)(A)(-∞,-2)∪(1,+∞)(B)(-∞,1)∪(2,+∞)(C)(-2,1)(D)(1,2)解析:因为g(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,g(x)=-ln(1-x),所以当x0时,-x0,g(-x)=-ln(1+x),即当x0时,g(x)=ln(1+x),因为函数f(x)=所以函数f(x)=9可判断f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,因为f(2-x2)f(x),所以2-x2x,解得-2x1,故选C.7.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(C)(A)-5(B)-6(C)-7(D)-8解析:由题意知g(x)===2+,函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示.由图形可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0t1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7.8.设f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,],则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,则t的范围是(D)(A)(,+∞)(B)(0,1)(C)(0,](D)(0,)10解析:因为函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,],因为函数f(x)=ln(ex+t)为增函数,所以即即方程ex-+t=0有两个不等的正根,即解得t的范围是(0,).9.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(C)(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)解析:因为f(x)=因此可以画出其图象.设f(a)=f(b)=f(c)=k.则由图象可知y=k与y=f(x)有三个互不相等的实根时,k∈(0,1),即f(a)=|lga|=-lga=lg=k,即a=.f(b)=lgb=k,即b=10k.所以ab=×10k=1.f(c)=-+6=k,所以c=12-2k.又因为k∈(0,1),所以c∈(10,12),所以abc∈(10,12),故选C.10.(2015开封模拟)将边长为2的等边△PAB沿x