2011专科数控技术等专业微积分初步教学辅导二(函数极限与连续2)

1微积分初步学习辅导二第一章函数、极限与连续1知道数列极限的“N”定义；了解函数极限的描述性定义。2理解无穷小量的概念；了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；知道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有：①有限个无穷小量的代数和是无穷小量；②有限个无穷小量的乘积是无穷小量；③无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。3熟练掌握极限的计算方法：包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定因子，利用无穷小量的运算性质，有理化根式，一个重要极限，函数的连续性等方法。求极限有几种典型的类型（1）aaxaxaxaaxaxaxakkkkxkkx21)())((limlim222020（2）1001002))((limlim00xxxxxxxxxxbaxxxxxx（3）mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx00111011100lim0⒋熟练掌握一个重要极限：limsinxxx01重要极限的一般形式：limsin()()()xxx01利用重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如3133sinlimsinlim3133sinsin31lim3sinsinlim0000xxxxxxxxxxxxxx5理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区间；了解函数间断点的概念；会求函数的间断点。6理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。2典型例题解析例题选解一、填空题1.极限limsinsinxxxx021。解：010sinlim1sinlim)sin1sin(limsin1sinlim00020xxxxxxxxxxxxxxx注意：01sinlim0xxx（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）111sinlim1sin1limsinlim000xxxxxxxxx，其中xxxsinlim0=1是第一个重要极限。2.函数0101sin)(xxxxxxf的间断点是x。解：由)(xf是分段函数，0x是)(xf的分段点，考虑函数在0x处的连续性。因为1)0(1)1(lim01sinlim00fxxxxx所以函数)(xf在0x处是间断的，又)(xf在)0,(和),0(都是连续的，故函数)(xf的间断点是0x。二、单项选择题1.函数fxxx()sin1在点x0处（）．A.有定义且有极限；B.无定义但有极限；C.有定义但无极限；D.无定义且无极限解：)(xf在点x0处没有定义，但01sinlim0xxx（无穷小量有界变量=无穷小量）故选项B正确。2.下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.e1xx,()；B.sin,()xxx；C.ln(),()11xx；D.xxx110,()解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以30sinlimxxx而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。三、计算应用题⒈计算下列极限：⑴12423lim222xxxxx15510)2(12)32()1(lim)2(xxxx（3）xxx3sin11lim0解：⑴61)6)(2()2)(1(1242322xxxxxxxxxx12423lim222xxxxx=8161lim2xxx⑵题目所给极限式分子的最高次项为1551032)2(xxx分母的最高次项为1512x，由此得381232)2(12)32()1(lim15510xxxx⑶当0x时，分子、分母的极限均为0，所以不能用极限的除法法则。求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。)11(3sin11lim)11(3sin)11)(11(lim3sin11lim000xxxxxxxxxxxx=612131111lim3sin3lim31)11(3sinlim000xxxxxxxxx2.设函数0sin001sin)(xxxxaxbxxxf问（1）ba,为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）ba,为何值时，)(xf在0x处连续？解：（1）要)(xf在0x处有极限存在，即要)(lim)(lim00xfxfxx成立。因为bbxxxfxx)1sin(lim)(lim00所以，当1b时，有)(lim)(lim00xfxfxx成立，即1b时，函数在0x处有极限1sinlim)(lim00xxxfxx4存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)()(lim)(lim000xfxfxfxxxx于是有afb)0(1，即1ba时函数在0x处连续。