(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形47正弦定理余弦定理文

1【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理文1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2accos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab2解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a20时，三角形为钝角三角形．(×)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝233，则B＝__________________________________________________.答案π6解析∵A＝120°，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asinA＝bsinB可得，sinB＝basinA＝2332×32＝12.∵A＝120°，∴B＝30°，即B＝π6.2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为________．答案3解析因为S＝12×AB×ACsinA＝12×2×32AC＝32，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝3.33．(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________.答案1解析由余弦定理：cosA＝b2＋c2－a22bc＝25＋36－162×5×6＝34，∴sinA＝74，cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋25－362×4×5＝18，∴sinC＝378，∴sin2AsinC＝2×34×74378＝1.4．(教材改编)在△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________三角形．答案直角解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，又sinA≠0，∴sinA＝1，A＝π2，∴△ABC为直角三角形．5．(2015·杭州二中高中第二次月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＋3bsinC－a－c＝0，则角B＝________.答案π3解析由正弦定理知，sinBcosC＋3sinBsinC－sinA－sinC＝0.∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入上式得3sinBsinC－cosBsinC－sinC＝0.∵sinC＞0，∴3sinB－cosB－1＝0，∴2sinB－π6＝1，即sinB－π6＝12.∵B∈(0，π)，∴B＝π3.4题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有________个．(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．(3)(2015·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.答案(1)2(2)45°，30°，105°(3)1解析(1)∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个．(2)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋2bc，∴cosA＝22，A＝45°，sinB＝12，又AB，∴B＝30°，∴C＝105°.(3)因为sinB＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.又C＝π6，B＋Cπ，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.又a＝3，由正弦定理得asinA＝bsinB，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.思维升华(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围5是________．(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝________.答案(1)2＜x＜22(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，又由sinA＝absinB＝x2×22＜1，可得x＜22，∴x的取值范围是2＜x＜22.(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝3，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.题型二和三角形面积有关的问题例2(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－12＝12sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝π4，即B＋C＝34π，得－cos2B＝－cos234π－C＝－cos32π－2C＝sin2C＝2sinCcosC，②由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝255，cosC＝55，因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，6所以sinB＝31010，由正弦定理得c＝223b，又因为A＝π4，12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.思维升华(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(2015·天津七校4月联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝3bsinA－acosB.(1)求角B；(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c.解(1)由a＝3bsinA－acosB及正弦定理，得sinA＝3sinB·sinA－sinA·cosB，∵0Aπ，∴sinA0，∴3sinB－cosB＝1，即sinB－π6＝12.又∵0Bπ，∴－π6B－π65π6，∴B＝π3.(2)∵S＝12acsinB＝3，∴ac＝4，①又∵b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2＝8.②由①②联立解得a＝c＝2.题型三正弦、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC的形状为________三角形．(2)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为________三角形．答案(1)钝角(2)直角解析(1)已知cbcosA，由正弦定理，得sinCsinBcosA，即sinCsinBcosA，所以sin(A＋B)sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA0，所以cosBsinA0.又sin7A0，于是有cosB0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(2)∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．命题点2求解几何计算问题例4(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sinBsinC；(2)若AD＝1，DC＝22，求BD和AC的长．解(1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得sinBsinC＝ACAB＝12.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意8①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)(2015·马鞍山模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为________三角形．(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为______．答案(1)等腰或直角(2)3解析(1)∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC＝sin(π2＋∠BAD)＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝223.BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD2＝3，BD＝3.二审结论会转换典例(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝66b，sinB＝6sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos2A－π6的值．9(2)求cos2A－π6―→求cos2A，sin2A―→求sinA，cosA――→第问已求出cosA根据同角关系求sinA规范解答解(1)△ABC中，由bsinB＝csinC，及sinB＝6sinC，可得b＝6c，[2分]又由a－c＝66b，有a＝2c，[4分]所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.[7分](2)在△ABC中，由cosA＝64，可得sinA＝104.[9分]于是，cos2A＝2cos2A