(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第17课曲线的切线文

1第17课曲线的切线(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P26习题5改编)曲线y=12x-cosx在x=π6处的切线方程为.【答案】x-y-π12-32=0【解析】设f(x)=12x-cosx，则f'π6=12+sinπ6=1，故切线方程为y-π3-122=x-π6，化简可得x-y-π12-32=0.2.(选修2-2P22例3改编)已知曲线f(x)=xsinx+1在点π12，处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，那么实数a=.【答案】-1【解析】f'(x)=sinx+xcosx，当x=π2时，f'(x)=1，所以a=-1.3.(选修2-2P20练习7改编)若直线y=12x+b是曲线y=lnx(x0)的一条切线，则实数b=.【答案】ln2-1【解析】设切点为(x0，lnx0)，则切线斜率k=01x=12，所以x0=2.又因为切点(2，ln2)在切线y=12x+b上，所以b=ln2-1.24.(选修2-2P16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为.【答案】4【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y=2x+1，所以g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x，所以f'(1)=g'(1)+2=4，故切线的斜率为4.1.导数的几何意义导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k=f'(x0)，相应地，切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).2.解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步：设出切点坐标(x0，y0)；第二步：计算切线的斜率为k=f'(x0)；第三步：写出切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)；第四步：将问题转化为函数与方程问题求解.【要点导学】要点导学各个击破过曲线上点的切线方程例1已知曲线S：y=-23x3+x2+4x及点P(0，0)，求过点P的曲线S的切线方程.3【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.【解答】设过点P的切线与曲线S切于点Q(x0，y0)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k=y'0|xx=-220x+2x0+4，又当x0≠0时，kPQ=00yx，所以-220x+2x0+4=00yx.①因为点Q在曲线S上，所以y0=-3023x+20x+4x0.②将②代入①得-220x+2x0+4=3200002-43xxxx，化简，得3043x-20x=0，所以x0=34.则k=358，过点P的切线方程为y=358x.当x0=0时，则k=4，过点P的切线方程为y=4x.所以过点P的曲线S的切线方程为y=4x或y=358x.【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P.变式已知曲线f(x)=13x3+43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.【思维引导】曲线y=f(x)“过点P”与“在点P处”的切线是不相同的，在点P处的切线是以P为切点；过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点的坐标.【解答】(1)因为f'(x)=x2，4所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=f'(2)=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线f(x)=13x3+43与过点P(2，4)的切线相切于点A3001433xx，，则切线的斜率k=f'(x0)=20x，所以切线方程为y-3013x-43=20x(x-x0)，即y=20xx-3023x+43.因为点P(2，4)在切线上，所以4=220x-3023x+43，即30x-320x+4=0，所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=2或-1，故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.过某点的曲线的切线方程例2已知函数f(x)=xlnx，过点A21-0e，作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程为.【思维引导】点A不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点A，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.【答案】x+y+21e=0【解析】设切点为T(x0，y0)，则kAT=f'(x0)，5所以0002ln?1exxx=lnx0+1，即e2x0+lnx0+1=0.设h(x)=e2x+lnx+1，则h'(x)=e2+1x，当x0时，h'(x)0，所以h(x)在(0，+∞)上是单调增函数，所以h(x)=0最多只有一个根.又h21e=e2×21e+ln21e+1=0，所以x0=21e.由f'(x0)=-1得切线方程是x+y+21e=0.【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导数，然后将切点的横坐标代入，即可以得到切线的斜率；当已知切线经过某一个点时，应该设出切点，求解出切线方程，再利用切线经过切点求解.变式已知曲线C：f(x)=x3-ax+a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为.【答案】278【解析】设切点坐标为(t，t3-at+a).由题意知，f'(x)=3x2-a，切线的斜率为k=y'|x=t=3t2-a，①所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t)，②将点(1，0)代入②式，得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t)，解得t=0或t=32.分别将t=0和t=32代入①式，得k=-a和k=274-a，由题意得它们互为相反数，故a=278.导数几何意义的应用6例3在抛物线f(x)=12x2上求一点P，使点P到直线x-y-1=0的距离最短，并求出这个最短距离.【思维引导】设P(x0，y0)，利用数形结合知与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线对应的切点即为所求.【解答】由题知当点P在与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线上时，点P到直线的距离最短.因为f'(x)=x，设点P(x0，y0)，则f'(x0)=x0=1，所以切点为112，.因为切点离直线最短，所以最短距离d=11--122=122=24.【精要点评】本题利用抛物线解题有两种方法，一是设与直线x-y-1=0平行且与抛物线相切的方程为x-y+m=0，将y=12x2与x-y+m=0联立方程组，且把方程组转化为关于x的一元二次方程，利用此方程中Δ=0求出m的值.二是设P(x0，y0)，由点到直线的距离得d=00|--1|2xy求解，但利用二次函数的性质求解较麻烦，所以利用导数求切点比较直观简单.【高频考点·题组强化】1.(2016·苏州期中)已知函数f(x)=ax+bx(a，b∈R，b0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直，且函数f(x)在区间12，上单调递增，那么b的最大值为.【答案】237【解析】函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f'(x)=a-2bx，由题意知f'(1)·1-2=-1，所以a-b=2，所以a=b+2.又f'(x)=a-2bx≥0在12，上恒成立，所以a≥2bx≥4b，所以b+2≥4b，解得b≤23，即b的最大值为23.2.(2015·全国卷改编)已知函数f(x)=x3+ax+14，问：当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线?【解答】设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)=0，f'(x0)=0，即3002010430xaxxa，，解得x0=12，a=-34.所以当a=-34时，x轴为曲线y=f(x)的切线.3.(2015·汇龙中学)已知函数f(x)=2axxb，且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为函数f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围.【解答】(1)对函数f(x)求导，得f'(x)=222()-(2)()axbaxxxb=222-()abaxxb.因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切，所以'(1)0(1)2ff，，即-01021ababab，，，所以a=4，b=1，所以f(x)=241xx.8(2)由(1)知f'(x)=2224-4(1)xx，所以直线l的斜率k=f'(x0)=202204-4(1)xx=42220021-(1)1xx，令t=2011x，t∈(0，1]，则k=4(2t2-t)=821-4t-12，所以k∈1-42，.4.设函数f(x)=ax-bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=74x-3，当x=2时，y=12，又f'(x)=a+2bx，于是12-22744baba，，解得13ab，，所以f(x)=x-3x.(2)设点P(x0，y0)为曲线上任意一点，由f'(x)=1+23x知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=2031x·(x-x0)，即y-003-xx=2031x(x-x0).9令x=0，得y=-06x，从而得切线与直线x=0的交点坐标为060-x，.令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积S=12×06x×|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.5.设函数f(x)=ax+1xb(a，b∈Z)，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y=3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)求证：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)f'(x)=a-21()xb，由题知212321-0(2)abab，，解得1-1ab，或948-.3ab，因为a，b∈Z，所以f(x)=x+1-1x.(2)已知函数y1=x，y2=1x都是奇函数，所以函数g(x)=x+1x也是奇函数，其图象是以原点为对称中心的中心对称图形.而f(x)=x-1+1-1x+1，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形.10(3)在曲线上任取一点0001-1xxx，，由f'(x0)=1-201(-1)x知，过此点的切线方程为y-2000-1-1xxx=2011-(-1)x(x-x0).令x=1，得y=001-1xx，切线与直线x=1的交点为0011-1xx，.令y=x，得y=2x0-1，切线与直线y=x的交点为(2x0-1，2x0-1)；直线x=1与直线y=x的交点为(1，1)，从而所围成的三角形的面积S=120011-1xx·|2x0-1-1|=12·02-1x·|2x0-2|=2，所以所围成的三角形的面积为