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第32课时矩形、菱形、正方形复习指南［学生用书P24］本课时复习主要解决下列问题.1.菱形的概念以及性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1,例2；［限时集训］中的第1，2，7，12题.2.矩形的概念以及性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第3，5，6，8题.3.正方形的概念以及性质与判定此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例4（包括预测变形1，2）；［限时集训］中的第9，10题.4.特殊四边形的综合运用此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例5；［限时集训］中的第4,11，13题（包括预测变形1，2，3）.考试管理［学生用书P24］1.矩形定义：有一个角是的平行四边形叫做矩形.性质：（1）矩形的四个角是；（2）矩形的对角线.注意：（1）矩形的定义可作为性质；（2）平行四边形的所有性质矩形都具备.判定：（1）有三个角是直角的四边形是；（2）对角线相等的平行四边形是.注意：矩形的定义可作为判定.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等.直角直角相等且互相平分矩形矩形2.菱形定义:有一组邻边的平行四边形是菱形.性质：（1）菱形的四条边；（2）菱形的对角线，并且每一条对角线.注意：（1）菱形的定义可作为性质；（2）平行四边形的所有性质菱形都具备；（3）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有条对称轴.判定：（1）四条边都相等的四边形是；（2）对角线互相垂直的平行四边形是.相等相等互相垂直平分平分一组对角两菱形菱形注意：（1）菱形的定义可作为判定；（2）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.证明方法：（1）先证明一个四边形是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或者对角线互相垂直；（2）可以证明一个四边形的四条边相等.面积：（1）可用平行四边形的面积计算公式，即底×高；（2）两条对角线乘积的一半，即若菱形的两条对角线长为a和b，则3.正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.注意：（1）正方形既是有一组邻边相等的，又是有一个角是直角的；（2）正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形.正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图32-1：性质：（1）正方形的四条边都，四个角都是；（2）正方形的对角线，并且互相，每一条对角线.注意：（1）平行四边形、矩形和菱形的所有性质正方形都具备；矩形菱形相等直角相等垂直平分平分一组对角（2）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴，对称中心是对角线的交点.判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）四边都相等，四个角都相等的四边形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线相等的菱形是正方形；（6）对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形.注意：正方形的定义可作为判定.证明方法：判定一个四边形是正方形可以先判定它是一个平行四边形，再判定它是矩形或是菱形，然后再证明它是正方形.归类探究［学生用书P24］类型之一菱形的性质与判定［2010·益阳］如图32-2，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．【解析】（1）由菱形四边相等可得等边三角形ABD；（2）由（1）知EB=12OB=14AB.解：（1）在菱形ABCD中,AB=AD，∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∴∠ABD=60°.(2)由（1）可知BD=AB=4.又∵O为BD的中点,∴OB=2.又∵OE⊥AB,∠ABD=60°，∴∠BOE=30°,∴BE=1.【点悟】菱形的四边相等，有一个角是60°的菱形可以被一条对角线分成两个等边三角形.［2010·安徽］如图32-3，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.（1）求证：四边形BCEF是菱形；（2）若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.【解析】（1BCEF,再由BF=BC证明它是菱形；（2）由平行四边形的对边相等，依“SSS”可证△ACF≌△BDE.证明：(1)∵AD∥FE，∴∠FEB=∠2.∵∠1=∠2,∴∠FEB=∠1,∴BF=EF.∵BF=BC,∴BC=EF.∴四边形BCEF是平行四边形.∵BF=BC,∴四边形BCEF是菱形.（2）∵EF=BC=AB=CD，AD∥FE，∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF=BE，FC=ED.又∵AC=2BC=BD，∴△ACF≌△BDE.【点悟】证明一个四边形是菱形的一般方法是：（1）四边相等；（2）首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；（3）对角线互相垂直平分；（4）对角线垂直的平行四边形等.类型之二矩形的性质与判定［2010·聊城］如图32-4，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【解析】(1)由等边三角形的“三线合一”求解；（2AFCE,再由∠CFA=90°,得证.解：（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.又∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠CAE＝30°.（2）证明：在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90°.又∵AD＝AE，∴AE＝CF.由（1）知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°+30°＝90°，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE.∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE是矩形．【点悟】证明一个四边形是矩形，一般常用的方法是：（1）有三个角是直角的四边形；（2）有一个角是直角的平行四边形；（3）对角线相等的平行四边形等.类型之三正方形的性质与判定［2011·预测题］如图32-5，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求证：AF-BF=EF.证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠BAD=90°.∵DE⊥AG,∴∠DEG=∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°.又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF.∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED=90°.因此△ABF≌△DAE,∴BF=AE，故AF-BF=AF-AE=EF.预测理由正方形含有很多相等的边和角，从小学一直贯穿到现在，在题目的形式上有更深更广地挖掘，属于中考必考内容.［预测变形1］［2010·云南］如图32-6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.【解析】通过证△ABF≌△DAE，明显推出DE∥BF.解：根据题目条件可判断DE∥BF.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF,∴AE=BF.∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BFA=∠AED，∴∠BFA=∠DEF=90°，∴DE∥BF.［预测变形2］［2010·重庆］如图32-7,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.【解析】（1）利用互余角和正方形边长相等证明；（2）将AE转化到DF上，求AF和DF即可.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD.在△ABE和△DAF中，∠2=∠1，AB=DA，∠4=∠3，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四边形ABCD是正方形,∴∠1+∠4=90°.∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90°,∴∠AFD=90°.在正方形ABCD中，AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30°.在Rt△ADF中，∠AFD=90°,AD=2，∴AF=3,DF=1.由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=3-1.【点悟】正方形中含有很多相等的边和角，这些相等的边和角是证明全等的有力工具.类型之四矩形、菱形、正方形等的综合运用［2009·襄樊］如图32-8所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF.连接AD.（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？【解析】(1)证△AFC和△ADC均为等边三角形.(2)关键是证明四边形ABCG是平行四边形,加上AB⊥BC，构成矩形.解：(1)证明:∵Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到,∴AC=DC,∠ACB=∠ACD=60°,∴AD=DC=AC.又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到,∴AC=AF,∠ABF=∠ABC=90°,∴∠FBC是平角，∴点F、B、C三点共线.∵∠F=∠ACB=60°,∴AF=FC=AC.∴AD=DC=FC=AF.∴四边形AFCD是菱形.(2)四边形ABCG是矩形.证明:由(1)可知△ACD是等边三角形,DE⊥AC于E,∴AE=EC.又易知AG∥BC,∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC,∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC.∴四边形ABCG是平行四边形，而∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形.【点悟】四边相等的四边形是菱形；有一个角是90°的平行四边形是矩形，判断一个特殊的四边形一定要灵活运用判定条件.