2011中考数学超好几何证明压轴题汇编

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以212DM.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为,,DEDFEDCFBCDCBC.所以，△DEC≌△BFC所以，,CECFECDBCF.所以，90ECFBCFBCEECDBCEBCD即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则2CECFk，所以22EFk.因为135BEC，又45CEF，所以90BEF.所以22(22)3BFkkk所以1sin33kBFEk.2、已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝21AB，CF＝21CD．∴AE＝CF∴△ADE≌△CBF．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．EBFCDA∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．[解析]（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．（2）BM=FN仍然成立．（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．∴BM=FN．图13－2EABDGFOMNC图13－3ABDGEFOMNC图13－1A(G)B(E)COD(F)4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。（1）若sin∠BAD35，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。[解析]（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5所以∠ADB＝90°，AB＝10在Rt△ABD中，sin∠BADBDAB又sin∠BAD35，所以BD1035，所以BD6ADABBD22221068因为∠ADB＝90°，AB⊥CD所以DEABADBDCEDE··，所以DE1086所以DE245所以CDDE2485（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD所以CBBDACAD⌒⌒⌒⌒，所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO所以∠CDB＝∠ADO设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°所以4490xxx所以x＝10°所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°所以∠AOC＝∠AOD＝100°SOAC扇形10036051251825、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．[解析](1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF∴FDCEAFAEBFEH，∵HE＝EC，∴BF＝FD(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可证得：FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○1在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2○2由○1、○2得：FG2-4FG-12=0解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）∴AB＝BG＝24∴⊙O半径为226、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]解:⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）⑵作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1∴△ACP∽△OBP∴ACAPOBOP在OBPRt中,22153OPOBBP,又AP=12-4=8,∴83153AC∴AC=24153≈1.94∵1.942∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=31∠OAC.[解析]证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=31∠OAC.8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60．⑴求AO与BO的长；⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝15，试求AA’的长．CABDOE[解析]⑴AOBRt中,∠O=90,∠α=60∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，∴122OBAB米.3sin604232OAAB米.--------------(3分)⑵设2,3,ACxBDx在CODRt中,232,23,4OCxODxCD根据勾股定理:222OCODCD∴222232234xx-------------(5分)∴21312830xx∵0x∴0381213x∴831213x-------------(7分)AC=2x=1632413即梯子顶端A沿NO下滑了1632413米.----(8分)⑶∵点P和点P分别是AOBRt的斜边AB与''OBARt的斜边''BA的中点∴POPA，OPAP'''-------------(9分)∴,PAOAOPPAOAOP-------(10分)∴PAOPAOAOPAOP∴15PAOPAOPOP∵30PAO∴45PAO-----------------------(11分)∴2cos454222AOAB-----(12分)∴(2322)AAOAAO米.--------(13分)9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时，△APQ的面积为524个平方单位？解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b由题意，得b=680kb解得346kb所以，直线AB的解析式为y＝－43x＋6．（2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10所以AP＝t，AQ＝10－2t1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以6t＝10210t解得t＝1130(秒)2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以10t＝6210t解得t＝1350(秒)（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝ABBO＝54在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·54＝8－58t所以，S△APQ＝21AP·QE＝21t·(8－58t)＝－254t＋4t＝524解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作PE⊥AB．10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．∵PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．故ACPCABPE，即.548,10108xPExPE∴⊿PBC面积＝.5122421xBCPE又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝.51224x即yx52448，x的取值范围是0＜x＜10．（2）这个判断是正确的．理由：由（1）可得，⊿PAD面积＝.512x⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了.