0010算法笔记【动态规划】矩阵连乘问题

问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。算法思路：例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：A1：30*35;A2：35*15;A3：15*5;A4：5*10;A5：10*20;A6：20*25递推关系：设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n当ij时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。综上，有递推关系如下：构造最优解：若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。1、穷举法列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。2、重叠递归从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：[cpp]viewplaincopy1.//3d1-1重叠子问题的递归最优解2.//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*253.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}4.#includestdafx.h5.#includeiostream6.usingnamespacestd;7.8.constintL=7;9.10.intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p);//递归求最优解11.voidTraceback(inti,intj,int**s);//构造最优解12.13.intmain()14.{15.intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};16.17.int**s=newint*[L];18.for(inti=0;iL;i++)19.{20.s[i]=newint[L];21.}22.23.cout矩阵的最少计算次数为：RecurMatrixChain(1,6,s,p)endl;24.cout矩阵最优计算次序为：endl;25.Traceback(1,6,s);26.return0;27.}28.29.intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p)30.{31.if(i==j)return0;32.intu=RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];33.s[i][j]=i;34.35.for(intk=i+1;kj;k++)36.{37.intt=RecurMatrixChain(i,k,s,p)+RecurMatrixChain(k+1,j,s,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];38.if(tu)39.{40.u=t;41.s[i][j]=k;42.}43.}44.returnu;45.}46.47.voidTraceback(inti,intj,int**s)48.{49.if(i==j)return;50.Traceback(i,s[i][j],s);51.Traceback(s[i][j]+1,j,s);52.coutMultiplyAi,s[i][j];53.coutandA(s[i][j]+1),jendl;54.}用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)计算a[1:4]的计算递归树如下图所示：从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等式：用数学归纳法可以证明，因此，算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。3、备忘录递归算法备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。[cpp]viewplaincopy1.//3d1-2矩阵连乘备忘录递归实现2.//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*253.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}4.#includestdafx.h5.#includeiostream6.usingnamespacestd;7.8.constintL=7;9.10.intLookupChain(inti,intj,int**m,int**s,int*p);11.intMemoizedMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p);12.13.voidTraceback(inti,intj,int**s);//构造最优解14.15.intmain()16.{17.intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};18.19.int**s=newint*[L];20.int**m=newint*[L];21.for(inti=0;iL;i++)22.{23.s[i]=newint[L];24.m[i]=newint[L];25.}26.27.cout矩阵的最少计算次数为：MemoizedMatrixChain(6,m,s,p)endl;28.cout矩阵最优计算次序为：endl;29.Traceback(1,6,s);30.return0;31.}32.33.intMemoizedMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p)34.{35.for(inti=1;i=n;i++)36.{37.for(intj=1;j=n;j++)38.{39.m[i][j]=0;40.}41.}42.returnLookupChain(1,n,m,s,p);43.}44.45.intLookupChain(inti,intj,int**m,int**s,int*p)46.{47.if(m[i][j]0)48.{49.returnm[i][j];50.}51.if(i==j)52.{53.return0;54.}55.56.intu=LookupChain(i,i,m,s,p)+LookupChain(i+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];57.s[i][j]=i;58.for(intk=i+1;kj;k++)59.{60.intt=LookupChain(i,k,m,s,p)+LookupChain(k+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];61.if(tu)62.{63.u=t;64.s[i][j]=k;65.}66.}67.m[i][j]=u;68.returnu;69.}70.71.voidTraceback(inti,intj,int**s)72.{73.if(i==j)return;74.Traceback(i,s[i][j],s);75.Traceback(s[i][j]+1,j,s);76.coutMultiplyAi,s[i][j];77.coutandA(s[i][j]+1),jendl;78.}算法通过数组m记录子问题的最优值，m初始化为0，表明相应的子问题还没有被计算。在调用LookupChain时，若m[i][j]0，则表示其中存储的是所要求子问题的计算结果，直接返回即可。否则与直接递归算法一样递归计算，并将计算结果存入m[i][j]中返回。备忘录算法耗时O(n^3)，将直接递归算法的计算时间从2^n降至O(n^3)。3、动态规划迭代实现用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。[cpp]viewplaincopy1.//3d1-2矩阵连乘动态规划迭代实现2.//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*253.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}4.#includestdafx.h5.#includeiostream6.usingnamespacestd;7.8.constintL=7;9.10.intMatrixChain(intn,