2011届高三数学精品复习之(13)直线的方程两条直线的位置关系线性规划

新课标网（http：//）---最专业的中小学教学资源共享平台http：//欢迎您下载！AOxy2011届高三数学精品复习之直线及线性规划1．直线的倾斜角的范围：[0，)，x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是；y轴及平行于y轴的直线的倾斜角为2而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k与α同增同减，当α是钝角时，k与α也同增同减。斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量（以a=（m,n）（m≠0）为方向向量的直线的斜率为mn）。关注斜率在求一类分式函数值域时的运用。[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，则直线l的斜率为：．解析：记直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，其斜率tan2=4343tan1tan22tan=-3或tan=31而由tan2=430得2是锐角，则∈（0，4），∴tan=31。[举例2]函数CosSiny31的值域为。解析：记P（cos,sin）,A(-3,1)则y=kPA，P点的轨迹是圆心为原点的单位圆，如右图：当直线PA与圆相切时，其斜率分别为0和43，[来源:Z+xx+k.Com]∴y=kPA∈[43，0]。注：这里存在一个kPA在0与43“之间”还是“之外”的问题，原则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。[巩固1]已知直线l：02cosyx则l倾斜角的范围是：。[巩固2]实数x,y满足24,012222xyyxyx则的取值范围为（）A．),34[B．]34,0[C．]34,(D．)0,34[[迁移]点P是曲线323xxy上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、2,0B、,432,0C、,43D、43,22．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。新课标网（http：//）---最专业的中小学教学资源共享平台http：//欢迎您下载！“截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式”）：))(())((112112xxyyyyxx却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。[举例]已知直线l：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是[来源:学科网][来源:学_科_网Z_X_X_K]（填上所有正确命题的序号）。①直线l对任意实数k恒过点P（1，-2）；②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P（1，-2）的直线；③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等；④若1300yx，则直线)1)(2()2)(1(00xyyx与直线AB及直线l都有公共点；⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[-3，1]；⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是(，-3]∪[1，)。[来源:学&科&网Z&X&X&K]解析：①直线l：y+2=-k（x-1）恒过P（1，-2），②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当k=-1时直线l在坐标轴上的截距相反；④若1300yx，则点M（x0,y0）在直线AB上（截距式），又点P（1，-2）在直线l，而直线)1)(2()2)(1(00xyyx过点M，P（两点式），即与直线AB有公共点M，与直线l有公共点P；⑤⑥直线l与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线l应在直线PA到PB之间，而其间有斜率不存在的位置，故命题⑥正确。[来源:学|科|网][巩固]已知圆C：x2+(y-2)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有条？[迁移]对任意实数m，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆1922myx恒有公共点，则m的取值范围是。[来源:Zxxk.Com]3.“到角”的范围：（0，），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有关的问题；“夹角”的范围：（0，2]。两直线1l：A1x+B1y+C1=0,2l：A2x+B2y+C2=0平行、垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：1l⊥2lA1A2+B1B2=0，若1l、2l不重合，则1l∥2lA1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。[举例1]直线1l：x=1到直线2l：2x+y+1=0的角是：（）新课标网（http：//）---最专业的中小学教学资源共享平台http：//欢迎您下载！A．arctan2,B．arctan21C．-arctan2D．arctan(-21)[来源:学*科*网]解析：记直线1l到2l的角为，直线2l的倾斜角为，作图可见=-2，tan=-cot=21,故选B。[举例2]①已知P（x0,y0）是直线l：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f（x0,y0）=0与直线l的位置关系是；②设a、b、c分别是⊿ABC中角A、B、C的对边，则直线:0sincayAx与直线0sinsinCBybx的位置关系是。[来源:学科网ZXXK]解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f（x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f（x0,y0）≠0，即常数项不同，故平行；②由正弦定理知：0sinsinBaAb，故垂直。[巩固]已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的范围为［0，12)时，a的取值范围是：A.(33,1)∪(1,3)，B.(0，1)，C.(33,3)，D.(1,3)[迁移]直线012yax与直线0312byxa互相垂直，,,Rba则||ab的最小值是：A．1B．2C．4D．5（）4．点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。[举例]已知5x＋12y＝60，则xy22的最小值是:A.6013B.135C.1312D.1解析：xy22表示直线l：5x＋12y＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l的距离，选A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。[巩固]直线l过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线l的方程为。[迁移]若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=22)2()1(yx，则P点的轨迹是：A．圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线[提高]若a、b、c为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c22)()(byax≠0,则a、b、c满足:A.c2≥a2+b2B.c2a2+b2C.c2a2+b2D.c2≤a2+b25.点M(m,n)关于直线y=±x+b的对称点M’(±nb，±m+b)，即：将M点的坐标代入对称轴方程求得M/的坐标；但对称轴斜率不为±1时，只可根据中、垂建立方程组(即MM/与对称轴垂直且其中点在对称轴上)，解出对称点坐标。光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和（差）的最值问题等都与对称有关。[举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合，新课标网（http：//）---最专业的中小学教学资源共享平台http：//欢迎您下载！若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值是。解析：“折痕”是AB的中垂线l：y=2x-3，C（7，3）、D（m，n）关于l对称，则：21733723mnmn53153nmm+n=534。[举例2]在⊿ABC中，已知A（2，3），角B的平分线为Y轴，角C的平分线为l：x+y=4,求BC边所在的直线方程解析：由题意知直线BA、BC关于Y轴对称，即A关于Y轴的对称点A1(-2,3)在直线BC上；直线CA、CB关于l对称，即A关于l的对称点A2(1,2)在直线CB上；∴直线BC即直线A1A2：x+3y-7=0,[来源:学科网ZXXK][巩固]已知点A在x轴上，点B在直线l：y=x上，C（2，1），则⊿ABC的周长的最小值为。[迁移]已知点A(1、1)，曲线C上的点(x、y)满足：ayaxsin27cos25，一束光线从点A出发经y轴反射到曲线C上的最短路程是：（）A226B225C8D106.不等式ax+by+c0(a0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的右侧，不等式ax+by+c0(a0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的左侧；a﹤0时情况相反。也可以说：不等式ax+by+c0(b0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c0(b0)所表示的区域为直线ax+by+c=0的下方；b﹤0时情况相反。目标函数z=mx+ny(m0)在“可行域”D内的最值：令mx+ny=0,在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最左侧，此时z取得最小值;位于最右侧，此时z取得最大值;m0时情况相反。如果z=mx+ny(n0),也可以说：在“可行域”D内平移直线mx+ny=0使之位于最下方，此时z取得最小值;位于最上方，此时z取得最大值;n0时情况相反。若线性目标函数的最优解不止一个，则目标函数为0的直线与“可行域”的一个边界平行或重合。[举例]已知x,y满足约束条件：2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y(a0)取得最小值的最优解有无穷多个,求a的值。解析：要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，令ax+y=0并平移使之与过点C（34,32）（可行域中最左侧的点）的边界重合即可，注意到a0，只能和AC重合，∴a=1[举例2]已知点P(3,-1)和Q(-1,2)，直线l：ax+2y-1=0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围为：A.1≤a≤3B.a≤1或a≥3C.a≤1D.a≥3[来源:学科网]解析：本题可参照“3[举例]⑤⑥”的做法，确定直线l的斜率的范围。现在用不等式所表示的区域解决：直线l与线段PQ有公共点即点P、Q在直线l的两侧或在直线l上，记：新课标网（http：//）---最专业的中小学教学资源共享平台http：//欢迎您下载！f(x,y)=ax+2y-1,则f(3,-1)f(-1,2)≤0,解得：a≤1或a≥3，选B。“3[举例]⑤⑥”也可照此办理。[巩固1]已知x,y满足约束条件：2x-y≥0,x+y-2≥0,6x+3y≤18,且z=ax+y取得最大值的最优解恰为（23,3），则a的取值范围是。[巩固2]点（-2，t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是。[迁移]双曲线x2-y2=1右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为2，则a+b的值是()A.-21B.21C.-21或21D