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1数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于()A．4B．3C．2D．1解析：由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，则am＋cn＝an＋cmmn＝a·b＋c2＋c·a＋b2a＋b2·b＋c2＝ab＋ac＋ac＋bcab＋ac＋b2＋bc2＝2.答案：C2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析：∵a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．答案：B3．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{an·bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)∵数列{an}是等差数列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.(2)由等比数列{bn}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得b4＋b5b1＋b2＝q3＝8，∴q＝2，∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，2则2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，两式相减得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列．(1)求a2，a3；(2)证明：数列{an－2}为等比数列；(3)求数列{nan}的前n项和Tn.解：(1)∵数列{an＋Sn}是公差为2的等差数列，∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝an＋22.∵a1＝1，∴a2＝32，a3＝74.(2)证明：由题意得a1－2＝－1，又∵an＋1－2an－2＝an＋22－2an－2＝12，∴{an－2}是首项为－1，公比为12的等比数列．(3)由(2)得an－2＝－(12)n－1，∴nan＝2n－n·(12)n－1，∴Tn＝(2－1)＋(4－2·12)＋＋…＋，＝(2＋4＋6＋…＋2n)－，设An＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n·(12)n－1，①∴12An＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n·(12)n，②①－②得12An＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n－1－n·(12)n，∴12An＝1－(12)n1－12－n·(12)n，∴An＝4－(n＋2)·(12)n－1，∴Tn＝n(2＋2n)2＋(n＋2)·(12)n－1－4＝(n＋2)·(12)n－1＋n(n＋1)－4.3题组二以等差数列为模型的实际问题4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了()A．600天B．800天C．1000天D．1200天解析：由第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N＋)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为3.2×104＋(5＋n＋4910)n2n＝3.2×104n＋n20＋4.95，当且仅当3.2×104n＝n20时，取得最小值，此时n＝800.答案：B5．(2010·邯郸模拟)若数列{an}满足1an＋1－1an＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{1xn}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.解析：由题意，若{an}为调和数列，则{1an}为等差数列，所以{1xn}为调和数列，则可得数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝20010＝20.答案：206．数列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝an－1n＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项an＝________.解析：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，则ann＋1－an－1n＝1，所以数列{ann＋1}是以a12＝3为首项，1为公差的等差数列，即ann＋1＝n＋2，则an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1时，此式也成立．答案：(n＋1)(n＋2)题组三以等比数列为模型的实际问题7.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，4现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析：设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.答案：B8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a1，a2，…，a10，则an＝12Sn＋1，则a1＝2，an－an－1＝12an，即an＝2an－1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S10＝2(1－210)1－2＝2046.答案：2046题组四数列与函数、不等式等问题的综合应用9．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()A．1B．2C．3D．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y＝5×(12)3＝58，同理z＝6×(12)4＝38，故x＋y＋z＝2.答案：B10．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1Sk9(k∈N*)，则k的值为________．解析：∵Sn＝23an－13，∴S1＝23a1－13＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n1)，即an＝(23an－13)－(23an－1－13)＝23an－23an－1，整理得：anan－1＝－2，∴{an}是首项为－1，公比为－2的2412yz5等比数列，Sk＝a1(1－qk)1－q＝(－2)k－13，∵1Sk9，∴1(－2)k－139，即4(－2)k28，仅当k＝4时不等式成立．答案：411．(文)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{1an}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项为Sn；(3)若λan＋1an＋1≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列．(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.(3)将an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，∴λ≤(3n＋1)(3n－2)3n－3，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．设Cn＝(3n＋1)(3n－2)3n－3，则Cn＋1－Cn＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1)0，故Cn＋1Cn，∴Cn的最小值为C2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．(理)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Snn)在直线y＝12x＋112上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝3(2an－11)(2bn－1)，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞k57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．解：(1)由已知得Snn＝12n＋112，∴Sn＝12n2＋112n.当n≥2时，6an＝Sn－Sn－1＝12n2＋112n－12(n－1)2－112(n－1)＝n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5.由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列，由{bn}的前9项和为153，可得9(b1＋b9)2＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{bn}的公差d＝b5－b32＝3，b3＝b1＋2d，∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.(2)cn＝3(2n－1)(6n＋3)＝12(12n－1－12n＋1)，∴Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)．∵n增大，Tn增大，∴{Tn}是递增数列．∴Tn≥T1＝13.Tn＞k57对一切n∈N*都成立，只要T1＝13＞k57，∴k＜19，则kmax＝18.