2011届高考数学复习好题精选正弦定理和余弦定理

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！正弦定理和余弦定理题组一正、余弦定理的简单应用1.(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2解析：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得6262sin30sin75sin4530b()=4，∴b=2.答案：A2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于______，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得ACsin2A＝BCsinA.即AC2sinAcosA＝1sinA.∴ACcosA＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜π2，0＜2A＜π2，0＜π－3A＜π2，解得π6＜A＜π4.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(2，3)．答案：2(2，3)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝bcsinC，故b＝4ccosA.②由①、②解得b＝4.题组二利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2010·天津模拟)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴cosB＋12＝a＋c2c，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化为2a·a2＋c2－b22ac＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．答案：B题组三三角形面积公式的应用6.在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝π6，则△ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34解析：由正弦定理知ABsinC＝ACsinB，∴sinC＝ABsinBAC＝32，∴C＝π3或2π3，A＝π2或π6，∴S＝32或34.答案：D7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝()A.817B.1517C.1315D.1317解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝1517.答案：B8．(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB·AC＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．解：(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB·AC＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝25.题组四正、余弦定理的综合应用9.若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！A．5B．6C．7D．8解析：依题意及面积公式S＝12bcsinA，得103＝12bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.答案：C10．(文)在三角形ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为()A．60°B．75°C．90°D．115°解析：不妨设a为最大边．由题意，ac＝sinAsinC＝3＋12，即sinAsin(120°－A)＝3＋12，∴sinA32cosA＋12sinA＝3＋12，(3－3)sinA＝(3＋3)cosA，∴tanA＝2＋3，∴A＝75°.答案：B(理)锐角△ABC中，若A＝2B，则ab的取值范围是()A．(1,2)B．(1，3)C．(2，2)D．(2，3)解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，∴0＜2B＜π2，0＜π－3B＜π2，∴π6＜B＜π4，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，ab＝sinAsinB＝2cosB∈(2，3)．答案：D11．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.解析：∵m⊥n，∴3cosA－sinA＝0，∴tanA＝3，∴A＝π3.∵acosB＋bcosA＝csinC，∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1.∴C＝π2，∴B＝π6.答案：π612．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，π3＜C＜π2且ba－b＝sin2CsinA－sin2C(1)判断△ABC的性状；(2)若|BA＋BC|＝2，求BA·BC的取值范围．解：(1)由ba－b＝sin2CsinA－sin2C及正弦定理得sinB＝sin2C，∴B＝2C，且B＋2C＝π，若B＝2C，π3＜C＜π2，∴23π＜B＜π，B＋C＞π(舍)；∴B＋2C＝π，则A＝C，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵|BA＋BC|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4，∴cosB＝2－a2a2(∵a＝c)，而cosB＝－cos2C，π3＜C＜π2，∴12＜cosB＜1，∴1＜a2＜43，又BA·BC＝accosB＝2－a2，∴BA·BC∈(23，1)．(理)(2010·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cosC2，sinC2)，n＝(cosC2，－sinC2)，m，n的夹角为π3.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(1)求C的大小；(2)已知c＝72，三角形的面积S＝332，求a＋b的值．解：(1)m·n＝cos2C2－sin2C2＝cosC，又m·n＝|m||n|cosπ3＝12，故cosC＝12，∵0＜C＜π，∴C＝π3.(2)S＝12absinC＝12absinπ3＝34ab，又已知S＝332，故34ab＝332，∴ab＝6.∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝72，∴494＝a2＋b2－2ab×12＝(a＋b)2－3ab.∴(a＋b)2＝494＋3ab＝494＋18＝1214，∴a＋b＝112.