2011届高考数学复数综合复习题

第十五章复数综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共100分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．(2009·山东)复数3－i1－i等于()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案：C解析：3－i1－i＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i2＝2＋i.故选C.2．(2009·宁夏、海南)复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝()A．0B．2C．－2iD．2i答案：D解析：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i13－－13i13＝i＋i＝2i.3．(2009·陕西)已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()A．2iB．iC．－iD．－2i答案：D解析：由题意得z＝ai.(a∈R且a≠0)．∴z＋21－i＝(2＋ai)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a＋(a＋2)i2，则a＋2＝0，∴a＝－2.有z＝－2i，故选D.4．(2009·武汉市高三年级2月调研考试)若f(x)＝x3－x2＋x－1，则f(i)＝()A．2iB．0C．－2iD．－2答案：B解析：依题意，f(i)＝i3－i2＋i－1＝－i＋1＋i－1＝0，选择B.5．(2009·北京朝阳4月)复数z＝2－i1＋i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：z＝2－i1＋i＝12－32i，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2009·北京东城3月)若将复数2＋ii表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则ba的值为()A．－2B．－12C．2D.12答案：A解析：2＋ii＝1－2i，把它表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则ba的值为－2，故选A.7．(2009·北京西城4月)设i是虚数单位，复数z＝tan45°－i·sin60°，则z2等于()A.74－3iB.14－3iC.74＋3iD.14＋3i答案：B解析：z＝tan45°－i·sin60°＝1－32i，z2＝14－3i，故选B.8．(2009·黄冈中学一模)过原点和3－i在复平面内对应的直线的倾斜角为()A.π6B．－π6C.23πD.56π答案：D解析：3－i对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D.9．设a、b、c、d∈R，若a＋bic＋di为实数，则()A．bc＋ad≠0B．bc－ad≠0C．bc－ad＝0D．bc＋ad＝0答案：C解析：因为a＋bic＋di＝(a＋bi)(c－di)c2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i，所以由题意有bc－adc2＋d2＝0⇒bc－ad＝0.10．已知复数z＝1－2i，那么1z＝()A.55＋255iB.55－255iC.15＋25iD.15－25i答案：D解析：由z＝1－2i知z＝1＋2i，于是1z＝11＋2i＝1－2i1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若z1z2是实数，则实数b的值为()A．6B．－6C．0D.16答案：A解析：z1z2＝3－bi1－2i＝(3－bi)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b)＋(6－b)i5是实数，则实数b的值为6，故选A.12．(2009·广东)设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)＝()A．2B．4C．6D．8答案：B解析：α(i)表示in＝1的最小正整数n，因i4k＝1(k∈N*)，显然n＝4，即α(i)＝4.故选B.13．若z＝12＋32i，且(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a2等于()A．－12＋32iB．－3＋33iC．6＋33iD．－3－33i答案：B解析：∵Tr＋1＝Cr4x4－r(－z)r，由4－r＝2得r＝2，∴a2＝C24(－z)2＝6×(－12－32i)2＝－3＋33i.故选B.14．若△ABC是锐角三角形，则复数z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B解析：∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞90°，B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，∴cosB－sinA＜0，sinB－cosA＞0，∴z对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A.2B.23C．－23D．2答案：C解析：2－bi1＋2i＝(2－bi)(1－2i)5＝(2－2b)5＋(－4－b)5i由2－2b5＝－－4－b5得b＝－23.16．设函数f(x)＝－x5＋5x4－10x3＋10x2－5x＋1，则f(12＋32i)的值为()A．－12＋32iB.32－12iC.12＋32iD．－32＋12i答案：C解析：∵f(x)＝－(x－1)5∴f(12＋32i)＝－(12＋32i－1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i)＝－ω＝－(－12－32i)＝12＋32i.17．若i是虚数单位，则满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p，q一共有()A．1对B．2对C．3对D．4对答案：D解析：由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以p2－q2＝q，2pq＝p.解得p＝0，q＝0，或p＝0，q＝－1，或p＝32，q＝12，或p＝－32，q＝12，因此满足条件的实数p，q一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq＝p应得到p＝0或q＝12.18．已知(2x2－xp)6的展开式中，不含x的项是2027，那么正数p的值是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：由题意得：C46·1p4·22＝2027，求得p＝3.故选C.总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x的项，即找常数项．19．复数z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z＝a＋bi，与复平面上的点Z(a，b)对应，由z＝－lg(x2＋2)－(2x＋2－x－1)i(x∈R)知：a＝－lg(x2＋2)＜0，又2x＋2－x－1≥22x·2－x－1＝1＞0；∴－(2x＋2－x－1)＜0，即b＜0.∴(a，b)应为第三象限的点，故选C.20．设复数z＋i(z∈C)在映射f下的象为复数z的共轭复数与i的积，若复数ω在映射f下的象为－1＋2i，则相应的ω为()A．2B．2－2iC．－2＋iD．2＋i答案：A解析：令ω＝a＋bi，a，b∈R，则ω＝[a＋(b－1)i]＋i，∴映射f下ω的象为[a－(b－1)i]·i＝(b－1)＋ai＝－1＋2i.∴b－1＝－1，a＝2.解得b＝0，a＝2.∴ω＝2.第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)21．(2009·崇文3月)已知z是复数，i是虚数单位，若(1－i)z＝2i，则z＝________.答案：－1＋i解析：(1－i)z＝2i，z＝2i1－i＝－1＋i.22．(2009·上海)若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________.答案：i解析：z＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i，∴z＝i.23．(2009·江苏)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．答案：－20解析：(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故(z1－z2)i的实部为－20.24．(2009·海淀4月)在复平面内，复数1＋aii(a∈R)对应的点位于虚轴上，则a＝________.答案：0解析：1＋aii＝a－i，由于它对应的点在虚轴上，则a＝0.25．(2009·安徽宿州二中模拟考三)i是虚数单位，则1＋C16i＋C26i2＋C36i3＋C46i4＋C56i5＋C66i6＝________.答案：－8i解析：1＋C16i＋C26i2＋C36i3＋C46i4＋C56i5＋C66i6＝(1＋i)6＝[(1＋i)2]3＝(2i)3＝－8i.三、解答题(本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)26．(本小题满分10分)计算下列问题：(1)(1＋i)71－i＋(1－i)71＋i－(3－4i)(2＋2i)34＋3i；(2)(－32－12i)12＋(2＋2i1－3i)8.分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i)2＝±2i，1i＝－i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i，a＋bii＝b－ai，(－12±32i)3＝1，(12±32i)3＝－1等等．解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i1－i＋[(1－i)2]3·1－i1＋i－8(3－4i)(1＋i)2(1－i)(3－4i)i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i(1＋i)i＝8＋8－16－16i＝－16i.(2)(－32－12i)12＋(2＋2i1－3i)8＝i12·(－12＋32i)12＋1＋i12＋32i8＝[(－12＋32i)3]4＋[(1＋i)2]4(12－32i)[(12－32i)3]3＝1－(2i)4(12－32i)＝1－8＋83i＝－7＋83i.27．(本小题满分10分)求同时满足下列两个条件的所有复数z；(1)1＜z＋10z≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋10z＝x(x2＋y2＋10)x2＋y2＋y(x2＋y2－10)x2＋y2i.∵1＜z＋10z≤6，∴y(x2＋y2－10)＝0，①1＜x(x2＋y2＋10)x2＋y2≤6.②由①得y＝0或x2＋y2＝10，将y＝0代入②得1＜10x＋x≤6，与10x＋x≥210＞6(x＞0)矛盾，∴y≠0.将x2＋y2＝10代入②得12＜x≤3.又x，y为整数，∴x＝1，y＝±3.或x＝3，y＝±1.故z＝1±3i或z＝3±i.28．(本小题满分10分)已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a＞0、b＞0)且3z21＋z22＝0，求z1和z2.解析：∵3z21＋z22＝0，∴(z2z1)2＝－3，即z2z1＝±3i.∴z2＝±3iz1.当z2＝3iz1时，得－33b＋(b＋2)i＝3i[32a＋(a＋1)i]＝－3(a＋1)＋32ai.由复数相等的条件，知3b＝a＋1，b＋2＝32a，∴a＝2，b＝1.∴z1＝3＋3i，z2＝－33＋3i.当z2＝－3iz1时，得－33b＋(b＋2)i＝3(a＋1)－32ai，由复数相等的条件，知－3b＝a＋1，b＋2＝－32a.∴a＝－107，b＝17.∵已知a，b∈(0，＋∞)，∴此时适合条件的a，b不存在．∴z1＝3＋3i，z2＝－33＋3i.