2011届高考数学总复习测评课件29

第二节独立性、二项分布及其应用基础梳理1.条件概率及其性质（1）条件概率的定义一般地，若有两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下事件A的，记为.（2）条件概率的求法一般地，若P(B)0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)=.还可以借助古典概型概率公式，即P（A|B）=.条件概率P(A|B)PABPBnABnB0≤P(B|A)≤1P(B|A)+P(C|A)P(A)P(B)P(A)P(B)(3)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即;②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=.2.事件的相互独立性(1)一般地，若事件A,B满足P(A|B)=P(A),称事件A,B独立.(2)若事件A,B相互独立，则P(AB)=.(3)两个事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=.(4)若事件相互独立，则这n个事件同时发生的概率.12,,...,nAAA1212......nnPAAAPAPAPAp0伯努利试验AAABABAB3.独立重复试验（1）一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中P(A)=，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为.（2）如果事件A与B相互独立，那么与,与，与也都相互独立.4.二项分布一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0p1)，即P(A)=p,P()=1-p=q.由于试验的独立性，n次试验中，事件A在某指定的k次发生，而在其余n-k次不发生的概率为.又由于在n次试验中，事件A恰好发生k次的方式Aknkpq有种，所以由概率的加法公式可知，n次试验中，事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率为,它恰好是的二项展开式中的第(k+1)项.若随机变量X的分布列为P(X=k)=,其中0p1,p+q=1,k=0,1,2,…,n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作.knCnpk,1,2,...,kknknCpqknnpqknkpqX～B(n,p)典例分析题型一条件概率【例1】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出1球，问从2号箱取出红球的概率是多少？分析从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球，二是当从1号箱取出白球.B解从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球，二是当从1号箱取出白球.记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.则P（B）=,P（）=1-P(B)=,P(A|B)=,P(A|)=,从而P（A）=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)·P()=141623CCB13141949CC131913CCBB421111933327学后反思解此类概率题型时，首先要区分所求概率是不是条件概率，即第一次试验结果是否对第二次试验结果有影响，若有影响，则属于条件概率.然后利用条件概率公式P(B|A)=求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性，得到最终结果.举一反三1.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率.PABPA解析:设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为P（B|A）=0.8,P(A)=0.9,由P（B|A）=,得P（AB）=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72.故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.PABPA分析三人独立破译密码，每人破译是否成功不相互影响，故应利用独立事件求概率的方法求解.解记“第i个人破译出密码”为事件(i=1,2,3),依题意有,,,且,,相互独立.（1）设“恰有二人破译出密码”为事件B，则有彼此互斥.∴iA115PA214PA313PA1A2A3A123123123BAAAAAAAAA123123123112131411354354354320PBPAAAPAAAPAAA题型二相互独立事件的概率【例2】(2008·福建)三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为、、,且他们是否破译出密码互不影响.（1）求恰有二人破译出密码的概率；（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.151413答：恰有二人破译出密码的概率为.(2)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，,且互相独立，则有而P(C)=1-P(D)=,故P(C)＞P(D).答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.320123DAAA123,,AAA12343225435PDPAPAPA35学后反思用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：（1）用恰当字母表示题中有关事件；（2）根据题设条件，分析事件间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；（4）利用乘法公式计算概率.举一反三2.栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为0.6,0.5,移栽后成活的概率分别为0.7,0.9.(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率.解析：分别记甲、乙两种果树成苗为事件、；分别记甲、乙两种果树移栽成活为事件、.P（）=0.6,P()=0.5,P()=0.7,P()=0.9.(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1-=1-0.4×0.5=0.8.1A2A1B2B1A2A1B2B12(,)PAA题型三独立重复试验【例3】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).（1）求至少3人同时上网的概率；（2）求至少几人同时上网的概率小于0.3?(2)分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A、B.则P(A)=P()=0.42,P(B)=P()=0.45,恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.42×0.55+0.58×0.45=0.492.11AB22ABBABA分析由于每个员工上网的概率都是0.5，且相互独立,故6个员工上网即进行6次独立重复试验.解（1）至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记至少3人同时上网的事件为A，则(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3,至少4人同时上网的概率为至少5人同时上网的概率为所以至少5人同时上网的概率小于0.3.364656666666210.50.50.50.532PACCCC465666666110.50.50.50.332CCC56666670.50.50.364CC学后反思(1)独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.（2）在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时，一定要审清公式中的n,k各是多少.1nkkknCpp举一反三3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制，若每场比赛中甲获胜的概率是,乙获胜的概率是,求比赛以甲三胜一负而结束的概率.2313解析：甲三胜一负即共进行四局比赛，前三局甲二胜一负，第四局甲胜，所求概率为分析(1)可看做6次独立重复试验;（2）X的取值为0,1,2,3,4,5,6;(3)可通过求对立事件的概率解决.223212833327PC题型四综合应用【例4】(14分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.13解（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13,且每次试验结果是相互独立的,故X～B(6,),………………………………………………3′以此为基础求X的分布列.由X～B(6,),P（X=k）=，………………4′k=0,1,2,3,4,5,6.所以X的分布列为………………………………………………………….10′1313661233kkkCX01233P6235161233C23261233C33361233CX456P42461233C5561233C613(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为{X≥1}={X=1或X=2或…或X=6},…………………………………………..12′所以其概率为P(X≥1)=P(X=k)=1-P(X=0)=………………………14′61k6266510.9123729学后反思（1）解决概率问题要注意的“三个步骤”：①确定事件的性质.古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验.把所给问题归结为四类事件中的某一种;②判断事件的运算.和事件、积事件,即是至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘公式;③运用公式.古典概型：P（A）=,互斥事件：P（A∪B）=P(A)+P(B),mn条件概率：P（B|A）=,独立事件：P（AB）=P(A)·P(B),n次独立重复试验：(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验;②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.PABPA1nkkknnPkCpp举一反三4.（2010·新乡模拟）在某次世界杯上，巴西队遇到每个对手，战胜对手的概率为,打平对手的概率为,输的概率为，且获胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知小组赛中每支球队需打三场比赛，获得4分以上（含4分）即可小组出线.121316（1）求巴西队小组赛结束后得5分的概率；（2）求小组赛后巴西队得分的分布列及巴西队小组赛出线的概率.解析：(1)“记巴西队小组赛结束后得5分”为事件A，必为一胜两平，则故巴西队小组赛结束后得5分的概率为.（2）巴西队小组赛后的得分用ξ表示，则ξ=0,1,2,3,4,5,6,7,9.则P（ξ=0）=;P（ξ=1）=;P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4)=223111326PAC1631162162131113636C223111113369618C231311117263216C3311112366AP（ξ=5）=;P（ξ=6）=;P（ξ=7）=;P（ξ=9）=.所以ξ的分布列为记“巴西队小组赛出线”为事件B.P(B)=P(ξ≥4)=故巴西队小组赛出线的概率为.223111326C223111268C223111234C31128ξ012345679P121613611817216161618141811111566848656易错警示【例】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率.错解ξ的取值分别为1,2,3,4,ξ=1,