2011年4月试题

1广西壮族自治区2011年4月高等教育自考考试(10099号)近世代数试卷一、填空题(本大题共5小题，共11个空，每空2分，共22分)把答案填在题中横线上。错填、不填均无分。1.设A、B是集合，|A|=4，|B|=3，则可定义81）（43个从A到B的映射，其中有0个单射，有24（34P）个满射，有0个双射。2.设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素2a的阶为3，子群3aH在G中的指数是3。3.设aG是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是2。注：G的非平凡子群分别为},{3ae，},,{42aae4.在模12的剩余环[11]},[1],{[0],R中，]10[]5[=[3]，]10[]5[=[2]，方程]1[2x的所有根为[1]，[5]，[7],[11]。5.环6Z的全部零因子是[2],[3],[4]。二、叙述定义(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1、代数运算(P7)2、群同态映射（P40）3、群的单位元（P36）4、不变子群（P70）25、交换环（P85）6、理想（P110）三、证明题（本大题共4小题，每小题9分，共36分）1、在一个有限群G里阶大于2的元的个数一定是偶数。（P38Ex2，2009年10月考题）证：令G是一个有限群，设G有元a，而a的阶2n，ean.考察1a，我们有eaann)(1，eaaenn)()(1，设正整数nm，而eam)(1，那么同上可得eam，与n是a的阶的假设矛盾.这样，n也是1a的阶，易见1aa，否则aa2ea1，与2n的假设矛盾.这样，我们就有一对不同的阶大于2的元a和1a.设G还有元b，ab，1ab，并且b的阶大于2，那么1b的阶也大于2，并且1bb，我们也有ab1-，否则1111abaabbe，消去1b得1ab，与假设矛盾.同样可证11-ab，这样除a和1a外，又有一对不同的阶大于2的元b和1b.由于G是一个有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里阶大于2的元的个数一定是偶数。2、证明：群G的两个子群的交集还是群G的子群。（P64Ex2）证：设21,HH是G的两个子群，令e是G的单位元，则21,HeHe，因此21HHe，故21HH不空。任取21,HHba，则1,Hba且2,Hba.但21,HH是G的两个子群，所以11Hab且21Hab，因此211HHab.3从而21HH是G的子群。3、F{所有复数bia：，ab是有理数}.证明：F对于普通加法和乘法构成一个域.（P93Ex1）证：任取Fbia，Fdic，则Fidbcadicbia)()()()(，Fibcadbdacdicbia)()())((（这里因为dcba,,,是有理数，所以bcadbdacdbca,,,是有理数）因此F对于普通加法和乘法是封闭的。复数的普通加法和乘法适合结合律、交换律、分配律，故F对于普通加法和乘法适合结合律、交换律、分配律。i00=F0，任取Fbia，有biabia0)(，即0为F的零元任取Fbia，Fbia，且)(bia0)(bia，即bia的负元为bia，所以F作成一个交换环。i01=F1，且任取Fbia，有biabiabia1)1（）（，即R有单位元1.F有非零元01i，设是biaF的任一非零元，即0bia，则ba,中至少一个0，所以022ba，因而有Fibabbaa2222使)((biaibabbaa22221)因此F的任一非零元在F中有逆，从而F是一个交换除环，故F是一个域。4、假定是环R到环R的一个同态映射.证明：是环R到环R的一个同构映射当且仅当的核是R的零理想。（P116Ex2）证：设aa)((RaRa,).若是R与R间的同构映射，则是一个一一映射，因而在之下，只有R的零元0是R的零元0的逆象，这就是说，的核是R的零理想{0}.反过来，设的核是R的零理想{0},那么R的任何一个元0c的象0c.因此由),(Rbaba得0ba0ba,即ba,故是R与R间的同构映射。四、运算题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）1.设},,,{dcbaA对代数运算⊕来说作成一个群，且a是单位元，试作出A的乘法表。4解：A的乘法表如下代数运算⊕封闭，a是单从表中看出A的元对位元，a的逆元是a，b的逆元是d，c的逆元是c，d的逆元是b.又有bb1，cb2，db3，ab4，则由指数法则知kjibbb)()(kjibbb，因此A的元对代数运算⊕满足结合律，即A的元对代数运算⊕作成一个群。2.假定R是模7的剩余类环，在R[x]中把乘积（[3]2x-[4]）（[4]xx2+[3]）计算出来。（P109Ex2）解：])3[]4])([4[]5[]3([23xxxx=]3[]4[])4[]3[]5([])4[]4[]5([])4[]5[]3[]3([]3[])4[]3([2345xxxxx=]12[]19[]21[]29[]3[]12[2345xxxxx=]5[]5[]3[]5[345xxxxabcdaabcdbbcdaccdabddabc