01第一节二阶与三阶行列式

第七章行列式历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。第一节行列式的定义分布图示★引言★二阶行列式的定义★例1★二元线性方程组★例2★三阶行列式的定义★例3★例4★三元线性方程组★例5★n阶行列式的定义★例6★例7★例8★几个常用的特殊行列式★内容小结★课堂练习★习题7-1内容要点一、二阶行列式的定义2112221122211211aaaaaaaa二、三阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaa=.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa三、n阶行列式的定义定义由2n个元素),,2,1,(njiaij组成的记号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式,其中横排称为行,竖排称为列,它表示一个由确定的递推运算关系所得到的数,即nnnjjjnjjjjjjNnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(其中njjj21表示对所有n级排列njjj21求和.四、几个常用的特殊行列式上三角形行列式下三角形行列式对角行列式例题选讲例1计算.2534－解.23)3(5242534－又如，设,132D试问：(1)当为何值时;0D(2)当为何值时.0D解,31322D0D032.3,0因此可得(1)当0或3时，0D;(2)当0或3时，.0D例2(E01)解方程组.328322121xxxx解D213213)2(2,71D2338)3(3)2(8,72D318218)3(2.14因,07D故所给方程组有唯一解1xDD177,12xDD2714.2例3(E02)计算三阶行列式601504321解601504321601)1(52043)1(030516244810.58注：读者可尝试将行列式按第二列展开进行计算.例4求解方程.094321112xxD解方程左端9432)1(142)1(193)1(131221211xxxxD23xx41812x922x,652xx由0652xx解得2x或.3x例5解三元线性方程组.013222321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式D111312121)1(11)1()3()2(12111)1(1)3(1)1(2)2(5,01D110311122,52D101312121,103D011112221,5故所求方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx例6(E03)计算行列式.12430756201450034D解由行列式的定义，有243756014)1()5(124075201)1(341114D2376)1(12475)1()4(52475)1(21207)1(1321113111.466)]2112()2810()4[(5)]2810(27[3例7计算行列式.000000000000433124121aaaaD解由行列式的定义，有.00)1(000000)1(43312412433131241243312421121aaaaaaaaaaaaD例8（E04）计算行列式.50007061102948023D解因为第三列中有三个零元素，可按第三列展开，得,500761823)1(232D对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得.2006123)1(51233D注：由此可见，计算行列式时，选择先按零元素多的行或列展开可大大简化行列式的计算，这是计算行列式的常用技巧之一.课堂练习1.设,1040101aaD试给出0D的充分必要条件.2.用行列式的定义计算行列式：.1100001001011010