01第一节矩阵的概念

第二章矩阵矩阵是代数研究的主要对象和工具，它在数学的其它分支以及自然科学、现代经济学、管理学和工程技术领域等方面具有广泛的应用.在本课程中，矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组求解等的有力且不可替代的工具,在线性代数中具有重要地位.第一节矩阵的概念内容分布图示★引例1★引例2★引例3★矩阵的定义★两矩阵相等的概念★几种特殊矩阵★线性变换的概念★例★内容小结★习题2-1★返回内容要点：一、引例.引例1线性方程组与数表的关系引例2航空公司航班图与数表的关系引例3某企业季度、产品、产值与数表的关系二、矩阵的概念定义1由nm个数),,2,1;,,2,1(njmiaij排成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵,简称nm矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记为)1(212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA这nm个数称为矩阵A的元素,ija称为矩阵A的第i行第j列元素.一个nm矩阵A也可简记为)()(ijnmijnmaAaAA或.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵,本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明).所有元素均为零的矩阵称为零矩阵,记为O.所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵.若矩阵)(ijaA的行数与列数都等于n，则称A为n阶方阵,记为nA.如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵.定义如果矩阵BA,同型矩阵,且对应元素均相等,则称矩阵A与矩阵B相等，记为BA.三、几种特殊矩阵只有一行的矩阵)(21naaaA称为行矩阵或行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也记作),,,(21naaaA只有一列的矩阵mbbbB21称为列矩阵或列向量.n阶方阵n00000021称为n阶对角矩阵,对角矩阵也记为),,,(21ndiagA.n阶方阵100010001称为n阶单位矩阵,n阶单位矩阵也记为nEE（或nII）当一个n阶对角矩阵A的对角元素全部相等且等于某一数a时，称A为n阶数量矩阵,即aaaA000000.四、线性变换的概念变量nxxx,,,21与变量myyy,,,21之间的关系式：)2(.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay称为从变量nxxx,,,21到变量myyy,,,21的线性变换.其中),,2,1;,,2,1(njmiaij为常数.线性变换(2)的系数ija构成矩阵nmijaA)(，称其为线性变换(1)的系数矩阵.易见线性变换与其系数矩阵之间存在一一对应关系.因而可利用矩阵来研究线性变换，亦可利用线性变换来研究矩阵.线性变换nnxyxyxy2211称为恒等变换，其系数矩阵就是单位矩阵.例题选讲：例矩阵0001所对应的线性变换0,11yxx可看作是xOy平面上把向量yxOP变为向量0111xyxOP的变换(或看作把点P变为点1P的变换,参看图2-1-1),由于向量1OP是向量OP在x轴上的投影向量(即点1P是点P在x轴上的投影),因此这是一个投影变换.又如矩阵cossinsincos对应的线性变换cossin,sincos11yxyyxx把xOy平面上的向量yxOP变为向量.111yxOP设OP的长度为r,辐角为,即设,sin,cosryrx那么),sin()sincoscos(sin),cos()sinsincos(cos11rryrrx表明1OP的长度也为r而辐角为.因此,这是把向量OP(依逆时针方向)旋转角(即把点P以原点为中心逆时针旋转角)的旋转变换(参看图2-1-2).