01课程说明.

第一课：课程说明近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。群、环、域、模是本课程的基本内容.课程说明包括以下内容学习前提与后续发展教学设计课程特点与学习方法课程名称介绍该理论的三个来源代数学简介作者张禾瑞简介学习要求集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学（及编码）等。该课程的学习前提和后续发展《近世代数》课程的讲授为一个学期，一般要求至少72学时，讲解包括第1章到第4章的内容。《近世代数》是理论性较强的课程，由于教学时数所限（51课时），因此我们重点介绍前面三章内容。该课程的教学设计高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例，以加深对概念的正确理解。近世代数的习题是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容，另外，本课程的理论推证体例较少，因此也必须通过做练习来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式和定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识、体会《近世代数》的思想和方法的目的.由此可知，独立完成作业是学好本课程的重要手段.该课程的特点与学习方法抽象代数（因为不具体、难）该课程的名称一：20世纪初发展起来的。1930-1931年，范-德-瓦尔登的《近世代数学》问世，在数学界引起轰动，标志着抽象代数学的正式诞生。该课程的名称二：基础代数该课程的名称三：与初等代数、高等代数不同：具体来说抽象代数是以Galois引入了扩域以及群的概念来讨论代数方程的解为起始点的。在学习《近世代数》这门课之前，有必要了解一下有关近世代数理论的三个来源，这有利于这门课程的学习。近世代数理论的三个来源(1)代数方程的解(2)Hamilton四元数的发现(3)Kummer理想数的发现（1）代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程ax2+bx+c=016世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》（ArsMagna）中给出了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。直到1824年一位年青的挪威数学家N.Abel(1802-1829)才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是一位法国年青数学家E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。伽罗华1811～1832阿贝尔1802－1829(2)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元数按(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。（3）Kummer理想数的发现17世纪初法国数学家费马(P.Fermat1601-1665）研究整数方程时发现当n≥3时，方程xn+yn=zn没有正整数解，费马认为他能够证明这个定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。Kummer的想法是：如果上面的方程有正整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么xn+yn=zn的等式两边可以作因子分解zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y)，象整数中的因子分解一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,进行适当的变换之后有可能得到更小的整数x1,y1,z1使xn+yn=zn成立，从而导致矛盾。如果上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这个公因式再进行上面同样的讨论。Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。用这种方法Kummer证明了n≤100时费马大定理成立,理想数的方法不但能用于费马问题的研究,实际上也是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。理想数的诞生库麦尔ErnstEdwardKummer(1810-1893)德国人1845至1847年间，提出了「理想数」的概念。又提出「正规质数」的概念，并证明当n为正规质数时，「费尔马最后定理」成立。近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.LvanderWearden1930-1996）根据该学科领域几位创始人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果,编著了《近世代数学》(ModernAlgebra）一书,这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。近世代数还要提到的一个人更大的名称—代数学（Algebra）简介代数学包括：抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数。（1）抽象代数（AbstractAlgebra），也叫近世代数，研究的主要内容涵盖群、环、域。抽象代表的是将研究对象的本质提炼出来，加以高度概括，来描述其形象。“欧式环”就是在将整数和多项式的一些相同的特点加以综合提炼引入的。抽象代数提供的一些结论为我们研究一些具体问题时所需使用的一些性质提供了依据。（2）布尔代数（BooleanAlgebra）是代数系统中最为基础的部分，也是最核心的基本理论。主要包括了集合的基本概念与运算，自对偶的公理系统。是数据表示的重要基础。相信大家都很清楚它的在计算机科学中有很重要地位。（3）关系代数（RelationalAlgebra）应用也是极为广泛，比如数据库技术中的关系数据库的构建就要用到关系代数的相关理论。（4）计算机代数（ComputerAlgebra）它研究的主要内容是围绕符号计算与公式演算展开的。是研究代数算法的设计、分析、实现及其应用的学科。主要求解非数值计算，输入输出用代数符号表示。计算机代数的开发语言主要有：ALTRAN,CAMAL,FORMAL。主要应用于：射影几何，工业设计，机器人手臂运动设计等。1911年12月23日出生于天津市。1931—1935年就读于北京大学数学系，获理学士学位。1936—1941年就读于德国汉堡大学数学系，获自然科学博士学位。1941—1946年德国汉堡大学中国语言文学系讲师。1946—1952年北京大学数学系教授。1952—1956年北师大数学系教授，代数教研室主任。1956—1986年北师大数学系教授，数学系系主任。此间曾任中国数学会理事，北京数学会副理事长。1978年后曾任校务委员会委员，北京师范大学学术委员会副主任委员。1995年4月5日在北京逝世。1、《近世代数基础》一书是张禾瑞的一本代表作。商务印书馆1952年正式出版。中国第一本近世代数教材。自出版以来，几十年内被长期沿用。仅就该书的修订本而言，在1978年出版以后的10年中，共印11次，总印数已超过32万册。1988年1月，《近世代数基础》一书获得全国高等学校优秀教材奖，国家教委为他颁发了荣誉证书。2、《高等代数》一书1957年正式出版，几十年来，该书被很多高等学校数学系选用。张、郝炳新两位先生先后于1979年、1983年两次修订出版了第二版、第三版。该书第二版共印4次，总印数达23万册，第三版自1983年至1988年间共印5次，总印数达22万册。1988年1月，《高等代数》一书获国家教委高等学校优秀教材一等奖，国家教委也颁发了荣誉证书。学习要求1.严与松：平时要求严格，不迟到早退，上课专心，听讲、思考，做必要的记录，作业一定不能抄袭！要严；这样的话考试改卷可以松一点。2.课程抽象，学习靠自觉与坚持！包含了数学的思想和方法，应用很广泛，学懂了会产生一定的兴趣。3.跟着讲授学习，事半功倍，课后一定要有复习。课程相关说明到此结束！以下给出数论的几个结论！(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和。