01随机过程与差分方程.

第一讲随机过程与差分方程一、随机过程与时间序列二、时间序列模型三、差分方程及其解法四、稳定性条件2一、随机过程与时间序列时间序列：随时间而发生变化的事件的结果如：记变量y在t期的值为yt，则{y1，y2，...}就为一时间序列经济时间序列：随时间变化而观察到的经济变量的取值如：1978-2007年的GDP序列几乎所有宏观经济变量都可以构成时间序列，因此，“时间序列计量经济学”实际上已成为“实证宏观经济学”的同义词3一、随机过程与时间序列描述时间序列的随机性：随机过程(stochasticprocess)了解随机过程就是要从理论高度来认识时间序列由随机变量组成的有序序列称为随机过程，如{y1，y2，}，简记为{yt，t=1,2,…}时间序列数据是该过程的一次实现，该过程可称为时间序列的数据生成过程(DGP){y11,y21,…,yT-11,yT1}{y12,y22,…,yT-12,yT2}随机过程{y1s,y2s,…,yT-1s,yTs}样本空间4两种基本的随机过程①白噪声(WhiteNoise)过程定义：E(yt)=0,Var(yt)=2Cov(yt,yt+k)=0由白噪声过程产生的时间序列如下图一、随机过程与时间序列-3-2-1012320406080100120140160180200whitenoise-4-202420406080100120140160180200DJPY由白噪声过程产生的时间序列日元对美元汇率的收益率序列5一、随机过程与时间序列两种基本的随机过程②随机游走(RandomWalk)过程定义：yt=yt-1+ut，其中ut是白噪声过程由随机游走过程产生的时间序列如下图-25-20-15-10-50520406080100120140160180200randomwalk12001400160018002000220050100150200250300由随机游走过程产生时间序列深圳股票综合指数6一、随机过程与时间序列②随机游走(RandomWalk)过程定义：yt=yt-1+ut，其中ut是白噪声过程yt的均值和方差分别为：1221()()0()()ttttttEyEuuVaryVaruu7随机过程的平稳性严(强)平稳过程：一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关，即无论对T的任何时间子集（t1,t2,…,tn）以及任何实数k,(ti+k)T,i=1,2,…,n都有F(y(t1),y(t2),…,y(tn))=F(y(t1+k),y(t2+k),…,y(tn+k))成立，其中F(·)表示n个随机变量的联合分布函数，则称其为严平稳过程或强平稳过程。宽(弱)平稳过程：如果一个随机过程的m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶平稳过程。一、随机过程与时间序列8例：二阶宽平稳过程如果E[y(ti)]=E[y(ti+k)]=,Var[y(ti)]=Var[y(ti+k)]=2,Cov[y(ti),y(tj)]=Cov[y(ti+k),y(tj+k)]=ij2,其中,2和ij2为常数，不随t,k的变化而变化，则称该随机过程{yt}为二阶平稳过程(协方差平稳过程)。如果严平稳过程的二阶矩为有限常数值，则其一定是宽平稳过程。反之，一个宽平稳过程不一定是严平稳过程。但对于正态随机过程而言，严平稳与宽平稳是一致的。这是因为正态随机过程的联合分布函数完全由均值、方差和协方差所惟一确定。一、随机过程与时间序列时间序列模型：用数学方程形式表现经济变量自身或经济变量之间随时间变化的特征和内在规律很多经济理论的自然表现形式即为时间序列模型例1：随机游走假说其中，yt表示某支股票在时期t的价格；εt+1表示均值为0随机干扰项。更一般形式：随机游走假说意味着：α0=α1=0，拒绝该约束条件即拒绝该理论。9二、时间序列模型11tttyy1011tttyy例2：凯恩斯宏观经济模型其中yt，ct，it分别表示t期的实际GDP，消费和投资。简化型方程：将内生变量表述成自身滞后变量、外生变量及随机干扰项的函数10二、时间序列模型1101()0tttttcttttitycicyicc消费ct的简化型方程：投资it的简化型方程：实际GDP的简化型方程：11二、时间序列模型11121()(1)(1)ttctttitttctitctyyccyy1ttctcy1111()ttcttitttctitiycyc例3：远期和即期价格假设某外汇的即期价格为st美元，未来一期的远期交割价为ft美元，无偏远期汇率（UFR）假说认为投机行为的期望收益为零。形式上，该假设认为远期和即期汇率具有如下关系：建立回归模型：如果能证明α0=0，α1=1，并且回归残差εt+1的均值为零，那么，UFR假设成立。12二、时间序列模型11tttsf1011tttsf例3：远期和即期价格当εt+1=0时，即期和远期市场可被认为处于长期均衡。无论何时st+1表现出与ft不一致，后期都必然会进行某种调整以恢复均衡。考虑以下调整过程该动态模型称为误差修正模型，变量在任一期的变动都和变量的前一期值与长期均衡的离差有关。13二、时间序列模型2112111()0()0ttttstttttftsssfffsf14差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。比如，对于时间序列yt一阶差分可表示为：yt-yt-1=yt=(1-L)yt=yt–Lyt，其中称为差分算子，L称为滞后算子注意理解差分算子和滞后算子的性质Lkyt=yt-kyt=yt-yt-1=(yt-yt-1)–(yt-1-yt-2)=yt-2yt-1+yt-2yt=(1-L)2yt=(1–2L+L2)yt=yt-2yt-1+yt-2差分方程：yt-yt-1=c，即：yt=yt-1+c二阶差分方程：yt=0.2yt-1+0.35yt-2三、差分方程及其解法15根据数据生成过程建立的计量模型，实质上就是一个含随机误差项的差分方程。因此，可以说时间序列的所有分析方法都以差分方程理论为基础差分方程是可以求解的，通过求解差分方程我们就可以了解差分方程中的变量yt的变化路径。注意：差分方程的解是一个函数而非数字，将解代入差分方程必能得到恒等式。例１：求一阶差分方程yt=a1yt-1的解三、差分方程及其解法迭代法求解（初始条件y0已知）16三、差分方程及其解法1102211103312101110tttyayyayayyayayyayay1ttyAa初始条件未知时，可以验证，解为：例2：求二阶差分方程yt=b1yt-1+b2yt-2的解猜想yt=Aαt，将其代入上式可得17三、差分方程及其解法12120tttAbAbA两边同时除以Aαt-2，可得2120bb上式称为yt的特征方程，解此方程得到α的两个值，称为yt的特征根。二阶差分方程的完整解为：1122()()tttyAA例1和例2两个差分方程称为齐次差分方程，其解称为齐次解。对于更一般的非齐次n阶差分方程，其通解被定义为一个特解加上所有的齐次解，求解的一般步骤为：第1步：建立齐次方程，求出n个齐次解；第2步：求出一个特解；第3步：将特解和所有齐次解的线性组合求和得通解；第4步：若有初始条件，将其代入通解，消去任意常数。18三、差分方程及其解法例3：蛛网模型19三、差分方程及其解法*00tttttttdapsbpsd假设：*10,ttabpp1(/)()//tttppab则1.建立齐次方程pt=(-β/γ)pt-1.齐次解为pt=A(-β/γ)t，其中A为任意常数2.如果β/γ1，将pt往后迭代并求极限，得特解：20三、差分方程及其解法01(/)ittiiabp3.通解为：01(/)(/)itttiiabpA4.若有初始条件p0，则可消去任意常数A，由21三、差分方程及其解法得：0001(/)(/)itiiabpA将其代入通解，得：001(/)itiiabAp001(/)tittiiababpp系统稳定性和乘数由pt的通解可以看出，价格pt序列的连续取值将围绕长期均衡上下波动。β/γ1时，波动将逐渐减小β/γ1时，波动将逐渐增大乘数：供给冲击εt对价格pt的边际影响22三、差分方程及其解法1ttp1121ttp所有这些乘数的时间路径被称为脉冲响应函数。在时间序列分析中，脉冲响应函数揭示了变量的整个时间路径是如何受到随机扰动的影响的。实际经济分析中，我们通常对偶发事件，即冲击对经济变量的影响随时间变化的特征感兴趣，因此，脉冲响应函数的应用在实证分析中非常重要。23三、差分方程及其解法1ntntp24一阶差分方程yt=0.5yt-1和yt=1.5yt-1的解分别为：yt=A(0.5)t；yt=A(1.5)t.四、稳定性条件2468100.00.20.40.60.81.0x0.5^(x-1)2468100102030x1.5^(x-1)当系数大于1时，序列是发散的；当系数小于1时，序列是收敛的25二阶差分方程yt=0.2yt-1+0.35yt-2和yt=0.7yt-1+0.35yt-2的解分别为：四、稳定性条件51015200.00.20.40.6x(-0.5)^x+0.7^x51015200.81.01.21.41.61.82.0x(-0.337386)^x+1.03739^x1212(0.5)(0.7);(0.337)(1.037)ttttttyAAyAA26二阶差分方程是收敛还是发散，取决于由差分方程系数构成的二元一次方程的两个根，若两个根都小于1，则序列收敛，若有大于1的根，则序列发散。对于n阶差分方程，将其写成滞后算子的形式：yt=a1yt-1+…+anyt-n(1-a1L-a2L2-…-anLn)yt=0称1-a1z-a2z2-…-anzn=0为反特征方程称zn-a1zn-1-a2zn-2-…-an=0为特征方程可以证明，差分方程的解是特征方程的根的函数，序列的平稳性（是否收敛）取决于特征方程的根是否位于单位圆内（含虚根情形）。四、稳定性条件直接计算高阶差分方程的特征根比较复杂，这里有些简单规则可用来检验高阶差分方程的稳定性n阶差分方程中，所有特征根位于单位圆内的必要条件为：27四、稳定性条件11niia因为ai有正有负，所有特征根位于单位圆内的充分条件为：1||1niia如果Σai=1，至少有一个特征根等于1.一个或多个特征根等于1的时间序列成为单位根过程。