02(简)振动波动第二章波动(2003)

1第2章波动(Wave)前言：1.振动在空间的传播过程叫做波动。波动是一种重要的运动形式。2.常见的波有两大类:(1)机械波：机械振动在媒质中的传播。(2)电磁波：变化电场和变化磁场在空间中的传播。·此外，在微观中波动的概念也很重要。3.各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。本章讨论：机械波(Mechanicalwave)的特征和有关规律，具体为，(1)波动的基本概念；2(2)与波的传播特性有关的原理、现象和规律；(3)与波的叠加特性有关的原理、现象和规律。§1机械波的产生和传播一、机械波的产生1.产生条件：(1)波源；(2)介质(媒质)2.弹性波：机械振动在弹性介质中的传播(如弹性绳上的波)。弹性介质的质元之间以弹性力(elasticforce)相联系。3.简谐波：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动，此种波称为简谐波(simpleharmonicwave)。以下我们主要讨论简谐波。3二、波的传播1.波是振动状态的传播以弹性绳上的横波为例，由图可见：由图可见：··························································048121620t=0t=T/4t=T/2··········································t=3T/4·························t=T弹性绳上的横波4(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。波的传播不是媒质质元的传播。(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间的弹性力)。(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现，这就是“波是振动状态的传播”的含义。(4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相点。相邻的同相点间的距离叫做波长(wave-length)，它们的相位差是2。2.波是相位的传播·由于振动状态是由相位决定的，“振动状态的传播”也可说成是“相位的传播”，即5某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下游”某处。·于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落后。图中b点比a点的相位落后即a点在t时刻的相位(或振动状态)经t的时间传给了与它相距为x的b点，或b点在t+t时刻的相位(或振动状态)与a点在t时刻的情况相同(即波的传播速度)。xt2=()x··abxxu传播方向b点和a点的相位比较6三、波形曲线(波形图)1.波形曲线(x曲线)波形曲线(waveformcurve)是x关系曲线)，·－质元的位移·x－质元平衡位置的坐标·--x曲线反映某时刻t各质元位移在空间的分布情况。(t时刻用照相机为所有质元拍的团体相)·波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同时刻对应有不同的波形曲线。每过一个周期(质元振动一次)，波形向前传播一个波长的距离。oxut波形曲线7·在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方向。·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。2.注意区别波形曲线和振动曲线波形曲线：x曲线振动曲线：t曲线，反映某一质元的位移随t的变化。(用摄像机为“舞姿优美”的某质元拍的一段特写镜头)。·在振动曲线上应标明是哪个质元的振动曲线。3.要求：应掌握，(1)由某时刻的波形曲线8画出另一时刻的波形曲线；(2)由某时刻的波形曲线确定某些质元的振动趋势画出这些质元的振动曲线；(3)由某质元的振动曲线画出某时刻的波形曲线。☆重要原则：不管是在波形曲线还是振动曲线上，同一质元在同一时刻的振动位移应相同(可用此原则检验所画曲线是否正确)。练习：1.已知t=0时刻的波形曲线如下图，(1)画出t+(T/4)，t+(T/2)，t+(3T/4)各时刻的波形曲线。(2)在题图上用小箭oxut=0····abcd(a)9头示出a、b、c、d各质元的振动趋势，并分别画出它们的振动曲线。2.已知x=0处质元的振动曲线如图，画出t=0时刻的波形曲线(设波沿+x方向传播)。四、波的特征量1.波长：两相邻同相点间的距离。波长—也即波形曲线上一个完整波形的长度，或一个振动周期内波传过的距离。2.波的频率：即媒质质点(元)的振动频率。·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的练习题用图oTtx=0(b)10波的个数。·通常情况下有波的频率=波源的振动频率s3.波速u：波速是振动状态的传播速度，数值上等于单位时间内振动状态传播的距离。·波速u主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。·因振动状态由相位决定，所以波速也就是相位传播的速度，称相速度(phasevelocity)。·要注意区分波速u和媒质质元的振动速度。tuT11五、横波和纵波横波(transversewave)：质元振动方向波的传播方向纵波(longitudinalwave)：质元振动方向‖波的传播方向演示：横波、纵波模型§2一维简谐波的表达式一、一维简谐波的表达式一维简谐波的表达式也称波函数(wavefunction)讨论：沿+x方向传播的一维简谐波(波速u，振动角频率为)假设：媒质无吸收(质元振幅均为A)x···dxo任一点p参考点a波速u写波的表达式用图12已知：参考点a的振动表达式为a(t)=Acos(ta)求写：任一点p的振动表达式比较：p点和a点的振动·其A和均各相同·但p点比a点相位落后任一点p的振动表达式为一维简谐波的表达式它即是任一点的振动表达式，反映任一点(位置在x)在任一时刻t的位移。2(x-d)(x,t)=Acos[t+a2(x-d)]-13★如果选原点为参考点(即d=0)，且其初相a为零，则可得表达式为此情形下波的表达式还有几种形式：式中12uk==称作角波数(圆波数)称作波数(wavenumber)。(angularwavenumber)(x,t)=Acos[t-x]2(x,t)=Acos2[tTx]x(x,t)=Acos[t-]u(x,t)=Acos[t-kx](x,t)=Acosk[ut-x]14练习：如果波沿-x方向传播，请写出波的表达式？二、一维简谐波表达式的物理意义由(x,t)cos(t-kx)从几方面讨论：1.固定x：如令x=x0，则波的表达式变为(x0,t)=Acos(t-kx0)·即x0处质元的振动表达式(初相是-kx0)，·由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。2.固定t：如令t=t0，则波的表达式变为(x,t0)cos(t0kx)15·反映t0时刻各不同x处质元的位移状况。·由它画出的曲线即t0时刻的波形曲线。3.如看定某一相位，即令(t-kx)=常数(x，t均为变量)，则此相位在不同时刻出现于不同位置，它的传播速度(相速度)可由上式的微分得出为4.表达式也反映了波是振动状态的传播。可以验证有(x+x,t+t)=(x,t)其中x=ut。上式说明t时刻x处质元的振动状态在t+t时传到了x+x处。dx=u=dtk165.表达式还反映了波的时间、空间双重周期性。(1)周期T代表了时间周期性·由质元运动看：每个质元振动周期为T·由波形看：t时刻和t+T时刻的波形曲线完全重合。(2)波长代表了空间周期性·由质元看：相隔的两点振动状态完全相同(同相点)。·由波形看：波形在空间以为“周期”分布着。称波的“空间周期”。时间、空间两方面的周期性以相速u联系起来：u=Tk17三、平面波和球面波1.波的几何描述·波线(waveline)：沿波传播方向的射线。·波面(wavesurface)：波在同一时刻到达的各点组成的面。一个波面上各点是同时开始振动的，具有相同的相位，波面又称同相面。·波前(波阵面)(wavefront)：最前沿的波面。·平面波(planewave)：波面是一些平行平面的波。·球面波(sphericalwave)：波面是一些同心球面(可以是球面的一部分)的波。在各向同性的媒质中波线波面。182.平面简谐波的表达式若平面简谐波(planesimpleharmonicwave)沿+x向传播，空间任一点p(x,y,z)的振动相位只和x与t有关，而和它空间坐标无关。前面讲的一维简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。3.球面简谐波的表达式·设一各向同性的点波源，在各向同性媒质中向四面八方发出球面波。球面波平面波波线波面波面和波线19·各点的频率仍决定于波源，·但振幅和各点到波源的距离r成反比(原因见波的能量部分)，其表达式为式中A0为距波源r0处的振幅。§3波动方程和波速本节对媒质的波动行为作动力学分析，导出连续弹性媒质中波所遵守的运动微分方程波动方程(wavefunction)。一、平面波波动方程A0r0r为r处的振幅，随r的增大而减小。(r,t)=()cos(t-kr)A0r0r201.一般形式·此即沿x向传播的平面波(不限于平面简谐波)的动力学方程，等号右端项的系数即波速u的平方。·前面所讲的平面简谐波的表达式是此波动方程的解(可用代入法检验)。2.弹性绳上的横波·波动方程：·波速：T-绳的初始张力-绳的线密度3.固体棒中的纵波u=Tt2x222=T2t22x2=u221·波动方程：·波速：Y-杨氏弹性模量-体密度·相应形变：长变4.固体中的横波·波动方程：·波速：G-切变模量∵ＧＹ，固体中u横波u纵波u=G22t2x2=Yu=Y=YFSll022t2x2=Gp长变(拉、压)l0l0+lFFF切F切面积S固体的几种基本形变容变pppV0+V切变22·相应形变：切变思考：如果发生地震，你在家中会有怎样的震感?5.流体中的声波·波动方程：·波速：k-体积模量0-无声波时的流体密度理想气体：t2x222=k0u=k0=GFSRTu=*震中家中的震感23式中摩尔质量·相应形变：容变可见，波速取决于·媒质的性质(弹性和惯性，材料对不同的形变有不同的抵抗能力即表现出不同的弹性)；·波的类型(横波、纵波)。二、固体棒中纵波的波动方程(推导)思路：·由胡克定律(应力、应变关系)·由牛顿第二定律1.某截面处的应力、应变关系=CpCp=-k(VV0)24在棒上取长为x的一小段质元，·t时刻，x处截面的位移：(x,t)x+x处截面的位移：(x+x,t)·波引起的x段的平均应变：·当x0时，得x处截面t时刻的应变为·x处截面的应力为·由胡克定律有xF(x,t)S(x+x,t)-(x,t)xx自由状态···oxx+xxt时刻(x,t)(x+x,t)x截面x+x截面有纵波时棒中质元t时刻的位形与它原来位形的比较25x处截面的应力、应变关系(待下面用)2.波动方程·在棒上取质元x，其质心位移为(x,t)·由牛顿定律有，·将前述应力、应变结果代入有·令x0，并取极限即得所求波动方程(Sx)2t2=F2-F12t2F2SF1S-x==YFSxx2x·x···ox1x(x,t)F1F2x1截面x2截面截面S··有纵波时棒中质元t时刻的位形和受力情况26§4波的能量·前已讲：波是振动状态的传播，相位的传播，外观上有波形在传播。·现讨论：随着波的传播能量也在传播。·对于“流动着”的能量，要由能量密度和能流密度两个概念来描述。一、弹性波的能量能量密度·波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。·对一块弹性媒质，2t2x=Yx)2-(x)1(2t2x22=Y27因振动有振动动能；因形变有形变势能，两者之和称此媒质中弹性波的能量。(一)弹性波的能量密度1.动能密度·取细长棒上质元x，其动能为·动能密度2.势能密度考虑一棒的长变，·棒长：l，截面：S·两端拉力：由0FSx()2t1212Wk=mV2=WkSxwk=2t1