02-大学自主招生数列【题目】

数列【知识梳理与归纳】一、已知递推式求通项公式⒈常见形式：（1）1nnapaq若1p，则显然是以1a为首项，q为公差的等差数列；若1p，则两边同时加上1qp，变为1()11nnqqapapp，显然{}1nqap是以11qap为首项，p为公比的等比数列（2）1()nnapafn，其中()fn不是常数若1p，则显然1111,(),2;nnipaafin若1p，则两边同时除以1pn，变形为111()nnnnnaafnppp，利用叠加法易得1111()nnniiaafippp，从而1111()[]nnniifiapap⒉不动点法当()fxx时，x的取值称为不动点，不动点是在较高要求测试中解决递推式的基本方法典型例子：1nnnaabacad，令axbxcxd，即2()0cxdaxb，令此方程的两个根为12,xx若12xx，则有11111nnpaxax。其中p可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解若12xx，则有111122nnnnaxaxqaxax，其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解⒊特征根法特征根法是专用求线性递推式的好方法21nnnapaqa，特征方程为2xpxq令其两根为12xx，则其通项公式为12nnnaAxBx，AB、用待定系数法求得当12xx时，则其通项公式为1(),nnaABnxAB、用待定系数法求得⒋数学归纳法简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果，然后用数学归纳法去证二、数列极限常用极限：1lim(1)nnen【真题解析】1、数列的递推例1（13北约）nS表示数列{}na的前n项和，已知11a，142nnSa，则2013a_______例2（2004年复旦大学保送生）已知数列{}na、{}nb满足12,nnnaab11166,2,4nnnbabab且又，求（1）,;nnab（2）limnnnab例3（09年北大）已知一无穷等差数列中有3项：13,25，41，求证：2009为数列中一项巩固练习：1、（2006年复旦）设na是正数列，其前n项和为nS，满足：对一切,nnZa和2的等差中项，则limnnan（）A.0B.4C.12D.1002、（11复旦千分考）117、设10x，13(1),1,2,3,3nnnxxnx，那么_____.A、数列{}nx是单调递增的B、数列{}nx是单调递减的C、数列{}nx或是单调递增的，或是单调递减的D、数列{}nx既非单调递增的，也非单调递减的3、（04交大）已知数列{}na满足121,2aa，且2132nnnaaa，则2004_____a.4、(10华约)设函数()1xmfxx，且存在函数1()(,0)2statbta，满足2121()tsfts（1）证明：存在函数()(0)tscsds，满足2121()stfst；（1）设113,(),1,2,nnxxfxn，证明：11|2|3nnx2、数列的求和例4（05交大）2222122468(1)(2)nn=___________．例5（05复旦）已知定义在R上的函数4(),42xxfx121()()(),2,3,nnSfffnnnn（1）求nS；（2）是否存在常数234111110,2,nMnMSSSS例6（06上海交大保送生）已知2!(1)!(2)!kkakkk，则数列{}na前100项和为_______例7（00交大）已知,xy为整数，n为非负整数，xyn，则整点,xy的个数为____。巩固练习：1、（08上海交大冬令营）数列{}na的通项公式为11(1)nannnn，则这个数列的前99项之和99_______S2、（07复旦千分考）已知数列}{na满足),1(,431naann且91a，其前n项之和为nS，则满足不等式1251|6|nSn的最小整数n是______。A.6B.7C.8D.93、（2006年复旦推优、保送）求和：（1）77777777777;n个（2）2005200520052005200520052005200520052005n个4、（00上海交大保送生）如图所示，设曲线1yx上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角11122,,,OBAABA直角顶点在曲线1yx上，试求nA的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在.5、（13华约）数列{}na各项均为正数，且对任意*nN满足21nnnaaca（0c为常数）（2）求证：对任意正数M，存在*NN，当nN时有naM（3）设11nnbca，nS为{}nb的前n项和，证明：{}nS有界，且对任意的0d，存在正整数k,当nk时，恒有110||nSdca3、数列的极限例8求下列极限：（1）1lim(1)nnn；（2）1lim(1)2nnn例9（11交大）已知函数212()(1)1()23xfxffaxb，，。令111()2nnxxfx，。（1）求数列{}nx的通项公式；（2）证明12112nxxxe。巩固练习：1、（02复旦基地班）lim(1)nnnn＝_________．2、（03复旦保送）10．0a，lim2nnnnaa＝_____．3、(00复旦保送)222lim[(2)log(2)2(1)log(1)log]nnnnnnn＝_____．4、已知数列{}na的通项公式为22lg(1),1,2,,3nannnnS是数列的前n项和，则limnnS（）A.0B.3lg2C.lg2D.lg34、数学归纳法例10（00交大）在na中，14a，16nnaa，①求证：11333nnaa②求limnna。例11（06复旦）对于任意12,,,nnNxxx均为非负实数，且1212nxxx，试用数学归纳法证明：121(1)(1)(1)2nxxx成立．【课后练习】1、（05年复旦）22lim(11)_______nnnnn2、（03年复旦）已知数列na的前n项和为nS，1(1)(11)(1)nannnnnn，求2003S3、(11卓越)设数列{}na满足1221,,2nnnaaabaaa．（1）设1nnnbaa，证明：若ab，则{}nb是等比数列；（2）若12lim()4nnaaa，求a、b的值．4、（2003年上海交大）数列{}na中12211,3,32,nnnaaaaa求na和limnna