02矩阵理论与方法_线性空间与线性变换

1矩阵理论与方法第1章线性空间与线性变换庄伯金[e-mail]2主要内容线性空间线性空间的基本概念线性空间的基与坐标、基变换与坐标变换线性子空间及运算线性变换及其矩阵线性变换、运算、矩阵表示特征值与特征向量、对角矩阵不变子空间Jordan标准形特殊线性空间Euclid空间正交矩阵、对称矩阵、酉空间3线性空间的概念定义：设是一个非空集合，元素用表示，是一个数域，元素用表示。在中定义加法运算以及与数域中元素的数乘运算，即对及，分别存在唯一的。若加法运算与数乘运算满足如下性质：加法满足结合律加法满足交换律存在零元存在逆元，对任意向量，存在，满足。可称为的负元素，记作。数乘对向量加满足分配律数乘对数量加满足分配律数乘满足结合律单位数乘则称为数域上的线性空间或向量空间。V,,xyzK,,klmV,xyVkK,xykxV()()xyzxyzxyyx0xxxVyV0xyyxx()kxykxky()klxkxlx()()klxklx1xxVK4线性空间的概念例：实（复）维向量集（或），向量加法和数乘，满足线性空间的定义，称为维实（复）向量空间。例：实（复）矩阵集合（或），定义普通的矩阵加法和数量乘积，满足线性空间的定义。例：次一元多项式集合，按通常意义定义多项式加法及实数与多项式乘法，满足线性空间的定义。例：常系数二阶齐次线性微分方程的解集，对于函数加法及数与函数的乘法，满足线性空间的定义。nnRnmnCnnmRnmCn[]nPx3'20yyyD5线性空间的概念定理：线性空间的零元素唯一存在，任一元素有唯一的负元素。推论：对任意，有。定义：若为线性空间中的个（有限个）向量，，且存在数域中的一组数，使得则称为向量组的线性组合，也称向量可由线性表示。定义：若数域中存在一组不全为0的数，使得则称线性相关，否则称为线性无关。定义：线性空间中线性无关向量组所含向量最大个数称为的维数。若最大个数是有限的正整数，则称的维数为，记作。线性空间也可称为维线性空间。当最大个数是无穷时，可称为无限维线性空间。V,xVkK1,...,mxxm0,,(1)000xkxxVxVK1,...,mcc11...mmxcxcxx1,...,mxxx1,...,mxxK1,...,mcc11...0mmcxcx1,...,mxxVVnVndimVnn6线性空间的基与坐标定义：设是数域上的线性空间，是中的个向量，若满足：线性无关；中任一向量都可由线性表示。则称为的一个基或基底，并称为基向量。注：线性空间的维数与基所含向量个数相等。例：维向量空间的基；例：矩阵空间的基；例：多项式空间的基；例：齐次线性方程组解空间的基。注：线性空间的基不唯一。VK1,...,(1)rxxrVr1,...,rxxVx1,...,rxx1,...,rxxV(1,...,)ixirnnm[]nPx0Ax7线性空间的基与坐标定义：设维线性空间的一个基，任意向量在该基下的线性表示为则称为线性空间的坐标系，称为在该坐标系中的坐标或分量，记为xV1,...,nxxn11...nnxxx1,...,nxx1,...,nx1(,...,)Tn8线性空间的基与坐标例：维向量空间的坐标；例：矩阵空间的坐标；例：多项式空间的坐标。注：同一个向量在不同坐标系中，坐标不同。定理：设是线性空间的一个基，，则在该坐标系中具有唯一的坐标，即可唯一表示成的线性组合。nnm[]nPx1,...,nxxVxVx1,...,nxx9基变换定义：设是线性空间的一组旧基，是的一组新基。根据基的定义，可以由线性表示或者写成其中矩阵称为由旧基到新基的过渡矩阵，上述公式称为基变换公式。注：过渡矩阵是非奇异矩阵。1,...,nxx111121211122......nnnnnnnnycxcxcxycxcxcx111212122212nnnnnnccccccCcccVV1,...,nyy1,...,nyy1,...,nxx11(,...,)(,...,)nnyyxxC10基变换由前公式，易得即新基到旧基的过渡矩阵为。定理：若线性空间有三组基，和,其中到的过渡矩阵为，到的过渡矩阵为，则到的过渡矩阵为。证明：由题可知则得所以1,...,nxx1,...,nyy111(,...,)(,...,)nnxxyyC1C1,...,nzz1,...,nxx1,...,nyyC1,...,nxx1,...,nzzB1,...,nyy1,...,nzz11(,...,)(,...,)nnyyxxC11(,...,)(,...,)nnzzxxB111(,...,)(,...,)nnxxyyC11(,...,)(,...,)nnzzxxB11(,...,)nyyCB1CB11坐标变换设在旧新两个基下的坐标分别为和，则这两组坐标之间转换关系推导如下：因为所以或者上述两公式称为基变换公式下的坐标转换公式。注：基过渡矩阵与坐标转换公式互逆。11(,...,)(,...,)TnnxxxxV1(,...,)Tn1(,...,)Tn11(,...,)(,...,)Tnnyy11(,...,)(,...,)TnnxxC111(,...,)(,...,)TTnnCC11(,...,)(,...,)TTnnC12基变换与坐标变换例1：设4维向量空间的两组基分别为1.求到的过渡矩阵。2.已知向量在坐标系中的坐标为，求在坐标系的坐标。解：由题可知所以可得其中1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)eeee1234,,,yyyyx1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)yyyy1234,,,eeee1234,,,eeee(3,2,5,1)x1234,,,yyyy11212312341234,,,yeyeeyeeeyeeee12341234(,,,)(,,,)yyyyeeeeC1111011100110001C13基变换与坐标变换求矩阵的逆，可得所以向量在坐标系中的坐标为xC11100011000110001C1234,,,yyyy11234(,,,)(3,2,5,1)TTC(1,3,6,1)T14基变换与坐标变换例2：设矩阵空间的两组基分别为求从到的过渡矩阵。解一（直接法）：由得线性方程组123411210210,,,00111011xxxx22R123411200210,,,20111112yyyy1234,,,yyyy1234,,,xxxx1111212313414ycxcxcxcx1121314112011112010111201010cccc15基变换与坐标变换可解得类似的，可依次解得所以从到的过渡矩阵为：1234,,,yyyy1234,,,xxxx1121314174143214TTcccc12223242158383458TTcccc1323334318385458TTcccc14243444183814138TTcccc7415818181438383832345414145858138C16基变换与坐标变换解二（中介基法）：设单位基易得到过渡矩阵：类似的，到过渡矩阵：123410010000,,,00001001EEEE120110221110112D1201112001110101B1234,,,EEEE1234,,,xxxx1234,,,EEEE1234,,,yyyy17基变换与坐标变换则从到的过渡矩阵为：1CBD1234,,,yyyy1234,,,xxxx741581818143838383234541414585813818线性子空间定义：设为数域上线性空间的一个非空子集，且对中已有的线性运算满足：若，则；若，则，则称为的线性子空间或子空间。两个平凡子空间线性空间自身零子空间注：线性子空间满足线性空间的定义，且。性质：设是数域上线性空间的一组向量，其所有可能的线性组合的集合为的一个线性子空间，这个子空间称为由生成的（张成的）子空间。记作若中线性无关向量最大个数为，则该子空间的维数为。1V1,xyVVKV1xyV1,xVkK1kxV1VV{0}1dimdimVV1,...,mxxKV111{...|,1,...,}mmiVkxkxkKimV1,...,mxx111(,...,){...}mmmLxxkxkxV1,...,mxxrr19线性子空间定义：设矩阵，记为矩阵的第个列向量，称子空间为矩阵的值域空间（列空间），记为。值域空间名称来源令，则向量的线性组合可表示为所以有定义映射可以看到为映射的值域。类似的，可定义矩阵的行空间为性质：[]mnijAaRiaAi1(,...,)nLaaA()RA1(,...,)Tnx1,...,naa11...nnaaAx(){|}nRAAxxR:nmFxAxRR()RAFA(){|}TTmRAAxxR()dim()dim()TrankARARA20线性子空间定义：设矩阵，称集合为的核空间（零空间），记为，即由定义可知为齐次线性方程组的解空间，是的一个线性子空间。定义：的核空间的维数称为的零度，记为，即有性质：性质：例：已知，求。[]mnijAaR{|0}xAxA()NA(){|0}NAxAxA()rankAnAn101011A()NAnRA()nA()dim()nANA()()TnAnAnm(),(),(),()TTRANARANA21线性子空间定理：设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的基，则这个基向量必可扩充为的一个基。1VKm1,...,mxxV1VnmV22子空间的交与和定理：若是数域上线性空间的两个子空间，则交集也是的子空间。定义：若是数域上线性空间的两个子空间，两子空间的和定义为。定理：若是数域上线性空间的两个子空间，则其和也是的子空间。定理：若是数域上线性空间的两个子空间，则有12,VVV1212{|,}VVxyxVyVK12VVV12,VVVK12,VVVK12VVV12,VVVK121212dimdimdim()dim()VVVVVV23子空间的交与和定义：若中的任一向量只能唯一地表示成子空间的一个向量和子空间的一个向量之和，则称为和的直和或直接和，记为。定理：和为直和的充要条件是推论：和为直和的充要条件是推论：若为的基，为的基，且为直和，则为的基。12VV1V2V12VV1V2V12VV12VV12(0)VVL12VV1212dim()dimdimVVVV1,...,kxx1V1,...,lyy2V12VV11,...,,,...,klxxyy12VV24线性变换的概念定义：设是数域上的线性空间，是到自身的一个映射，则称是的一个变换或者算子，记为称为在下的象，为的