02第2章逻辑代数基础

EXIT逻辑代数基础EXIT概述第2章逻辑代数基础逻辑函数及其表示法逻辑代数的基本定律和规则逻辑函数的代数化简法逻辑函数的卡诺图化简法本章小结EXIT逻辑代数基础EXIT主要要求：理解逻辑值1和0的含义。2.1概述理解逻辑体制的含义。EXIT逻辑代数基础EXIT用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(BooleAlgebra)或开关代数。逻辑指事物因果关系的规律。逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用1和0表示。与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。相似处相异处运算规律有很多不同。一、逻辑代数EXIT逻辑代数基础EXIT逻辑代数中的1和0不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。注意例如：开关闭合为1晶体管导通为1电位高为1断开为0截止为0低为0二、逻辑体制正逻辑体制负逻辑体制规定高电平为逻辑1、低电平为逻辑0规定低电平为逻辑1、高电平为逻辑0通常未加说明，则为正逻辑体制EXIT逻辑代数基础EXIT主要要求：掌握逻辑代数的常用运算。理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。2.2逻辑函数及其表示法掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转换的方法。EXIT逻辑代数基础EXIT一、基本逻辑函数及运算基本逻辑函数与逻辑或逻辑非逻辑与运算(逻辑乘)或运算(逻辑加)非运算(逻辑非)1.与逻辑决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯Y开关B开关A开关A、B都闭合时，灯Y才亮。规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0真值表111YAB000001010逻辑表达式Y=A·B或Y=AB与门(ANDgate)若有0出0；若全1出1EXIT逻辑代数基础EXIT开关A或B闭合或两者都闭合时，灯Y才亮。2.或逻辑决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯Y开关B开关A若有1出1若全0出0000111YAB101110逻辑表达式Y=A+B或门(ORgate)≥13.非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。开关闭合时灯灭，开关断开时灯亮。AY0110Y=A1非门(NOTgate)又称“反相器”EXIT逻辑代数基础EXIT二、几种导出的逻辑运算由基本运算组合而成与非逻辑(NAND)先与后非若有0出1若全1出0100011YAB101110011或非逻辑(NOR)先或后非若有1出0若全0出1100YAB001010与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非EXIT逻辑代数基础EXIT异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0000011YAB101110100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即EXIT逻辑代数基础EXIT[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0全1出10110011000110011Y2Y3相同出0相异出1EXIT逻辑代数基础EXIT三、逻辑符号对照国家标准曾用标准美国标准EXIT逻辑代数基础EXIT四、逻辑函数及其表示方法逻辑函数描述了某种逻辑关系。常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。1.真值表列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。列真值表方法(1)按n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。EXIT逻辑代数基础EXIT00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输入变量4个输入变量有24=16种取值组合。的真值表。　例如　求函数CDABYEXIT逻辑代数基础EXIT2.逻辑函数式表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。(1)找出函数值为1的项。(2)将这些项中输入变量取值为1的用原变量代替，取值为0的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式例如ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111逻辑式为EXIT逻辑代数基础EXIT3.逻辑图运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由逻辑符号及相应连线构成的电路图。根据逻辑式画逻辑图的方法:将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。例如画的逻辑图反变量用非门实现与项用与门实现相加项用或门实现EXIT逻辑代数基础EXIT[例]图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关A和B分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。(1)分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表11YAB0000110110(2)根据真值表写出逻辑式解：方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。设开关A、B合向左侧时为0状态，合向右侧时为1状态；Y表示灯，灯亮时为1状态，灯灭时为0状态。则可列出真值表为EXIT逻辑代数基础EXIT(3)画逻辑图与或表达式(可用2个非门、2个与门和1个或门实现)异或非表达式(可用1个异或门和1个非门实现)BAABYBA=Ａ⊙B设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。EXIT逻辑代数基础EXIT2.3逻辑代数的基本定律和规则主要要求：掌握逻辑代数的基本公式、基本定律和重要规则。EXIT逻辑代数基础EXIT一、基本公式逻辑常量运算公式逻辑变量与常量的运算公式0·0=00·1=01·0=01·1=10+0=00+1=11+0=11+1=10–1律重迭律互补律还原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=AEXIT逻辑代数基础EXIT二、基本定律(一)与普通代数相似的定律交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)普通代数没有！利用真值表逻辑等式的证明方法利用基本公式和基本定律EXIT逻辑代数基础EXIT111111111100[例]证明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)用分配律展开=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111=左式EXIT逻辑代数基础EXIT(二)逻辑代数的特殊定理吸收律A+AB=AA+AB=A(1+B)=AEXIT逻辑代数基础EXIT0011111011011100A+BA·BAB0011001000011100A·BA+BAB(二)逻辑代数的特殊定理吸收律A+AB=A推广公式：思考：(1)若已知A+B=A+C，则B=C吗？(2)若已知AB=AC，则B=C吗？推广公式：摩根定律(又称反演律)EXIT逻辑代数基础EXIT三、重要规则(一)代入规则AAAA均用代替A均用代替B均用C代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。EXIT逻辑代数基础EXIT变换时注意：(1)不能改变原来的运算顺序。(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非号保持不变。可见，求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律。原运算次序为(二)反演规则对任一个逻辑函数式Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。YEXIT逻辑代数基础EXIT(三)对偶规则对任一个逻辑函数式Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式Y。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。变换时注意：(1)变量不改变(2)不能改变原来的运算顺序A+AB=AA·(A+B)=AEXIT逻辑代数基础EXIT主要要求：了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。掌握逻辑函数的代数化简法。2.4逻辑函数的代数化简法理解最简与-或式和最简与非式的标准。EXIT逻辑代数基础EXIT逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。一、逻辑函数式的几种常见形式和变换例如CBBAY))((CBBACBBACBBABCBA与或表达式或与表达式与非-与非表达式或非-或非表达式与或非表达式转换方法举例与或式与非式用还原律用摩根定律CBBAYCBBACBBA或与式或非式与或非式用还原律用摩根定律用摩根定律))((CBBAY))((CBBACBBABCBAEXIT逻辑代数基础EXIT二、逻辑函数式化简的意义与标准化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。EXIT逻辑代数基础EXIT最简与-或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少EXIT逻辑代数基础EXIT三、代数化简法运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。ABAABCBACBAYBA)()(CBCBACBBCAY)(CBACBAAEXIT逻辑代数基础EXIT)(FEABABYAB吸收法运用A+AB=A和，消去多余的与项。CAABBCCAABBDDCDAABCYBDCADABC)(BDDACACBDACACBDCDAABCEXIT逻辑代数基础EXIT消去法运用吸收律，消去多余因子。BABAACBCAABYCBAAB)(CABABCABCDBAABCDBABAY)(BAABCDBABABACDBACDBACDBABAEXIT逻辑代数基础EXIT配项法通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。1AA0AADCBADCABCBABCBABABABCCABABABCCABAB)(ABABCABCABCBAABCEXIT逻辑代数基础EXIT综合灵活运用上述方法[例]化简逻辑式EFBADCCAABDAADY解：EFBADCCAABAYDCCAA应用BABAADCCADCA[例]化简逻辑式CBDBDAACY解：应用BABAADABCBACDCBAC应用ABCBACCBACEXIT逻辑代数基础EXIT[例]化简逻辑式CAABCBAY解：YCAABCBACABA应用BABAACBACBAYCBA用摩根定律EXIT逻辑代数基础EXIT主要要求：理解最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。理解卡诺图的意义和构成原则。掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。2.5逻辑函数的卡诺图化简法EXIT逻辑代数基础EXIT代数化简法优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。卡诺图化简法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。一、代数化简法与卡诺图