02第二章机电系统的数学模型.

机电系统的数学模型第二章2.1微分方程的建立2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.3传递函数与方框图2.4状态空间模型主要内容1.建立系统微分方程式的一般步骤分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划分为若干个环节（或元件），确定每一环节的输入信号和输出信号。根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，按照信号的传递顺序，列出各个元件描述输出信号和输入信号相互关系的动态方程式，一般为微分方程组；消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的微分方程式，即系统的数学模型；将方程式化为标准形式，即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号的左边，并且各导数项要按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。2.1微分方程的建立2.典型元件2.1微分方程的建立典型元件2.1微分方程的建立典型元件2.1微分方程的建立电气系统:基尔霍夫电压定理基尔霍夫电流定理机械系统:空间连续律达朗贝尔静力平衡原理2.1微分方程的建立网络方程——元件连接原则例2.1机械平移系统设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示，列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式（不计重力）。解：根据牛顿第二定律可得则系统的方程为:上式经整理，可得系统的微分方程为:iFymkf2.1微分方程的建立已知机械转动系统如图2.2所示，系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成。系统的输入以外力矩M，系统的输出为角速度ω。试列出系统运动方程式。解:牛顿第二定律可以表示为：式中J为惯性负载的转动惯量，ω为角速度，M为外加到系统的转动力矩。代入元件方程，可得或若系统的输出为转角θ，据ω=dθ/dtJMMf例2.2机械转动系统2.1微分方程的建立设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图所示。试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程式。解:根据基尔霍夫定律写出电路方程亦即消去中间变量i得输入-输出的运动方程式iuouRLCi例2.3电气系统其中2.1微分方程的建立例2.1例2.3不同的系统，其数学模型均为二阶微分方程，即相似的数学模型。亦即是说各物理系统的特性参数间也存在着一定的运动相似性。2.1微分方程的建立机电系统的相似性iuouRLCiiFymkf机电系统的相似性机电系统方程2.1微分方程的建立2.1微分方程的建立例2.4天线方位角伺服系统如图2.4所示，试列出以电枢电压ua为输入信号，跟踪卫星的天线的方位角θ为输出信号的运动方程式。图2.4天线方位角伺服系统auaRaLiaJaMaMdmeif?解：符号定义：ua——电动机的电枢电压（V）em——电动机的反电势（V）Ia——电动机的电枢电流（A）Ra——电枢绕组的电阻（Ω）La——电枢绕组的电感（H）ω——电动机轴的转速（rad/s）ke——反电动势系数V/rad/s）Ja——电动机转子的转动惯量（kg·m2）b——阻尼系数（N·m/rad/s）Ma——电动机的电磁转矩（N·m）Md——风力产生的阻力矩（N·m）kc——电机转矩系数（N·m/A）auaRaLiaJaMaMdmeif?2.1微分方程的建立例2.41．电网络平衡方程其中2．机械平衡方程3.系统方程2.1微分方程的建立例2.4工程简化：电动机电枢电感La通常比较小，因此可以忽略La；在工程实践中，和可作为干扰信号来处理输入为电枢电压ua，输出为天线旋转角速度的二阶微分方程为：fMcdM2.1微分方程的建立例2.4如果设则可得到一阶线性微分方程为：若以电动机转角为输出，即则上式可改写为：如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻Ra忽略不计，则方程变为：此时电枢电压ua与电机的转速成正比，这就是测速发电机的原理。例2.42.1微分方程的建立令：则天线方位角伺服系统的运动微分方程式:或:2.1微分方程的建立例2.42.2.1拉普拉斯变换的定义如果一个以时间t为自变量的函数f（t），它的定义域是t0，那么，拉普拉斯变换为dtetfsFtfLst0)()()]([式中为复数，是实数；是角频率(rad/s）。为运算符号，称为拉普拉斯变换算子；为函数的拉普拉斯变换。jsL)(sF)(tf常用的拉氏变换可以参见表2.2。2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.3拉氏变换基本定理1.常数定理2.线性定理3.衰减定理4.延迟定理)()]([sAFtAfL)()()]()([2121sFbsFatfbtfaL)()]([asFtfeLat)()]([sFetfLs2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.3拉氏变换基本定理5.微分定理)0()(])([fssFdttdfL)0()0()(])([222fsfsFsdttfdL)0()0()0()(])([121nnnnnnffsfssFsdtfdL2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.3拉氏变换基本定理6.积分定理7.初值定理8.终值定理9.卷积定理sfssFdttfL)0()(])([1)(lim)0()(lim0ssFftfst)(lim)(lim0ssFtfst)()(])()([)]()([2102121sFsFdftfLtftfLt2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.4拉氏反变换jjstdtesFjsFLtf)(21)]([)(1拉氏反变换的公式用上式求拉氏反变换，计算复杂，一般很少采用。通常采用的方法是利用部分分式展开，然后查拉氏变换表，求出函数。)(tf2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.4拉氏反变换微分方程式的拉普拉斯变换0122110111)()()(asasasasbsbsbsbsAsBsFnnnnnmmmmniinnnnsFsFsFsFpsCpsCpsCpspspssBsF121221121)()()()()())(()()(niisFLsFLtf111)]([)]([)(2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.5用拉普拉斯变换求解线性微分方程列出机电系统的微分方程后，就可以求解该微分方程。微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法，也可以采用拉氏变换法来计算。采用拉氏变换法求解微分方程是代初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。应用拉氏变换求解线性微分方程的一般步骤如下：（1）对微分方程两边进行拉氏变换，变微分方程为代数方程。（2）将给定的初始条件和输入信号代入方程，求解代数方程，得到微分方程在域的解。（3）作拉氏反变换求得微分方程的时域解。2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.5用拉普拉斯变换求解线性微分方程例2.5求解例2.1所述弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统以为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式。iF其中：iFkydtdyfdtydm22为阶跃函数，幅值为8kg。21mkgs5/kkgm6/fkgsm已知初始位移iF初始速度0()|0.6tytm0()|0.3/tdytmsdt2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.5用拉普拉斯变换求解线性微分方程解：首先，对方程两边进行拉氏变换，iFkydtdyfdtydm22)()()0()()0()0()(2sFskYfysfsYymmsysYmskfsmsfyymsmysFsY2)0()0()0()()(将初始条件代入方程)5)(1(89.36.0)56(89.36.0)(222sssssssssssY2.2线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法2.2.5用拉普拉斯变换求解线性微分方程解：进行部分分式展开51)(321sCsCsCsY58)5)(1(89.36.0021sssssssC4047)1()5)(1(89.36.0122sssssssC407)5()5)(1(89.36.0523sssssssC)5(407)1(404758)(ssssY0,407404758)]([)(51teesYLtytt传递函数是经典控制理论中一个很重要的数学模型。是在用拉氏变换方法求解微分方程过程中引出的一种数学模型。传递函数是一种对系统的外部描述，它表达了系统输入量与输出量之间的传递关系。只与系统本身的结构和特征参数有关，而与输入量无关。利用传递函数不必求解微分方程，可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。利用传递函数可给系统的性能分析带来方便，另一方面，也可把对系统性能的要求转换为对传递函数的要求，从而给系统的设计提供简捷的方法。2.3传递函数与方框图2.3.1传递函数的定义对于一个线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，称为该系统的传递函数。传递函数表示为：)()()(sRsYsG在MATLAB里，可直接用分子、分母多项式系数构成的两个向量num与den表示系统，即nnnmmmasasbsbsbsdensnumsRsYsG11110)()()()()(调用格式为：),(dennumtfsys2.3传递函数与方框图2.3.2传递函数的性质传递函数具有如下性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统；（2）传递函数是在零初始条件下定义的；（3）传递函数是可以有量纲的；（4）传递函数只描述系统的输出变量与输入变量之间的动态关系，称为系统的外部描述。描述系统的内部特性的表示方法为状态空间法，将在下一小节介绍。所以，同一个系统，由于描述不同的端口关系，其传递函数可能不同；不同的系统，其传递函数可能相同；2.3传递函数与方框图2.3.2传递函数的性质传递函数性质：（5）连续系统传递函数表达式用系统增益、系统零点和系统极点来表示的，则称为系统的零极点增益模型。是传递函数模型的一种特殊形式niimiipszsksG11)()()(MATLAB中，控制系统可直接用向量z（零点）、p（极点）、k（增益）构成的矢量组[z，p，k]表示系统，即][],,,[],,,[2121kkppppzzzznm),(dennumzpksys调用格式为：2.3传递函数与方框图2.3.3简单方框图的传递函数1.方框图系统的方框图是线图方式的数学模型，是系统的每个元件或子系统的功能和信号流向的图形表示，可以用来描述控制系统的系统结构关系。图中用箭头表示了信号传递的方向。方框图包含了与系统动态特性有关的信息，但已经脱离了物理系统的模型，因此，许多完全不同的系统可以用同一个方框图来表示。此外，对一个确定的系统来说，方框图也不是唯一的。2.3传递函数与方框图2.3.3简单方框图的传递函数2.方框图的化简系统一般由多个环节组成，为了便于系统分析和设计，常常需要对系统的方框图进行简化（等效变换），方框图简化需要遵循一定的基本原则，即简化前后的数学关系不变，保证前向通道传递函数的乘积不变，回路传递函数的乘积不变。方框图简化（等效变换）的一些基本规则见教材表2.5。简化方框图一般可以反复采用合并串联和并联方框、消除反馈回路，然后移动引出点和比较点，出现新的串联和并联方框、反馈回路，再合并串联和并联方框、消除反馈回路，不断重复上述步骤，最后简化为一个方框。但很多情况上述步骤不是最佳方法，可以采用其他更简单的方法，如可以移动所有引出点和比较点以后，将所有反馈回路合并，然后消除反馈回路，使整个方框图变为一个方框。2.3传递函数与方框图2.3传递函数与方框图2.3.3简单方框图的传递函数例2.9：简化图2.6(a)所示两级RC滤波网络的