02线性变换及其矩阵

16第二讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为Tx＝y称y为x在变换T下的象，x为y的原象。若变化T还满足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)x,yV,k,lK称T为线性变换。[例1]二维实向量空间12i2RR，将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。[证明]12x12yTx112212cossinsincos1122cossinsincos2R1212xyo可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换1712xxx12zzz2R，k，lR11112222kxlzkxlzkxlz=kxlzkxlz1122kxlzcossinT(kxlz)kxlzsincos1122xzcossincossinklxzsincossincosk(Tx)l(Tz)T是线性变换。[例2]次数不超过n的全体实多项式nP构成实数域上的一个n1维的线性空间，其基可选为2n1,x,x,,xL，微分算子dDdx是nP上的一个线性变换。[证明]显然D对nP而言是变换，要证明D满足线性变换的条件nf,gP，k，l2RD(kflg)k(Df)l(Dg)D是nP上的线性变换。2.性质（1）线性变换把零元素仍变为零元素（2）负元素的象为原来元素的象的负元素（3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组[证明]线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)（1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=018（2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)（3）元素组12mx,x,,xL线性相关，即存在一组不全为零的数12mk,k,,kL使miii1kx0则mmiiiii1i1T(kx)k(Tx)T(0)0iTx线性相关。[得证]应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换T将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。3.线性变换的运算（1）恒等变换eT：exV,Txx（2）零变换0T：0xV,Tx0（3）变换的相等：1T、2T是V的两个线性变换，xV，均有12TxTx，则称1T＝2T（4）线性变换的和1T+2T：xV，1212(TT)xTxTx（5）线性变换的数乘kT：xV，(kT)xk(Tx)负变换：(T)x(Tx)（6）线性变换的乘积12TT：xV，1212(TT)xT(Tx)19（7）逆变换1T：xV，若存在线性变换S使得(ST)xx，则称S为T的逆变换S＝1T（8）线性变换的多项式：,3,21nTTTnn，并规定0eTTNnnn0f(T)aTNnnn0f(T)xaTx需要说明的是：1）eT也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵I；2）0T对应的矩阵表示为零矩阵；3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，eSTT；5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。设T是线性空间nV的一个线性变换，且12nx,x,,xL是nV的一个基，xVn，存在唯一的坐标表示1212nnxx,x,,xLM＝1122nnxxxL201122nnTxT(xxx)L1212nn(TxTxTx)LM1212nnT(xxx)LM因此，要确定线性变换T，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。i1i2i12ninaaTxx,x,,xaLM1121n11222n212n12n12n1n2nnnaaaaaaTx,x,,xx,x,,xx,x,,xAaaaLLLLLMMMML对于任意元素x，在该基下，变换后Tx的坐标表示为1212nnTxx,x,,xLM同时21112212n12nnnTxT(xxx)x,x,,xALLMM对比可知：12nM＝12nAM即：12nxM12nTxAM1.定义：把A称为T在基12nx,x,,xL下的矩阵。2.定理：设12nx,x,,xL是nV的一个基，1T、2T在该基下的矩阵分别为A、B。则有（1）1212n12n(TT)x,x,,xx,x,,x(AB)LL（2）112n12nkTx,x,,xx,x,,x(kA)LL（3）1212n12n(TT)x,x,,xx,x,,x(AB)LL（4）11112n12nTx,x,,xx,x,,xALL推论1.设miii0f(t)at为纯量t的m次多项式，T为线性空间nV的一个线性变换，且在nV的基12nx,x,,xL下的矩阵为22A，则12n12nf(T)x,x,,xx,x,,xf(A)LL其中2n0e12nf(T)aTaTaTaTL2n012nf(A)aIaAaAaAL推论2.设线性变换T在nV的基12nx,x,,xL下的矩阵为A，元素x在该基下的坐标为12n(,,)L，则Tx在该基下的坐标12n(,,)L满足12nM＝12nAM3.相似矩阵设T在nV的两个基12nx,x,,xL及'''12nx,x,,xL的矩阵分别为A和B，且'''12nx,x,,xL＝12nx,x,,xLC，则1BCAC即A和B为相似矩阵。[证明]nn1212Tx,x,,xx,x,,xALL''''''nn1212Tx,x,,xx,x,,xBLL12n12nTx,x,,xCx,x,,xCBLL12n12nx,x,,xACx,x,,xCBLLACCB即1BCAC定理：n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。23[证明]必要性：已知A和B相似，即存在可逆矩阵P使1BPAP选取一个基12nx,x,,xL，定义12n12nTx,x,,xx,x,,xALL考虑'''12n12nx,x,,xx,x,,xPLL可作为基，且'''12n12nTx,x,,xTx,x,,xPLL12nx,x,,xAPL'''112nx,x,,xPAPL'''12nx,x,,xBLA和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。三、线性变换及矩阵的值域和核1.定义：设T是线性空间nV的线性变换，称nR(T)Tx|xV为T的值域；nN(T)x|xV,Tx0称为T的核。R(T)和N(T)均为nV的子空间。设A为mn阶矩阵，称nnR(A)Ax|xRorxC为矩阵A的值域；nnN(A)x|xRorxC,Ax0为A的核。dimR(T)、dimN(T)称为T的秩和零度；dimR(A)、dimN(A)称为A的秩和零度。2.定理：（1）ndimR(T)dimN(T)dimV24（2）dimR(A)rank(A)（3）dimR(A)dimN(A)n，n为A的列数。若A是线性变换T的矩阵，则dimR(T)=dimR(A)，dimN(T)=dimN(A)作业：P77－78，1、7