030导数在研究函数中的应用(参考答案)

1第三十讲导数在研究函数中的应用一．基础知识二．考题回顾【江苏高考2012】18．（本小题满分16分）已知a，b是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．18.(1)由题得baxxxf23)('2零点为1和1，0232baxx的根为1和1，由韦达定理求得3,0ba．(2)由题)2()1(23)('23xxxxxg其变号零点仅是2，从而()gx的极值点为2．(3)令)(xft，则ctttxh3)()(3，由)1)(1(333)('2xxxxf知)(xf的示意图，且极大值极小值分别为2,2，2c时，2,1t，同理可作出)(xh图(实为同一图)，当1t时对应)(xh零点3个，当2t时对应)(xh零点2个，2c时，)(xh零点有5个，同理2c时，)(xh也有零点5个，当22c时)2,2(t，此时)(t零点有3个，对应)(xh零点有9个．综上当2c时各有5个零点，当22c时有9个零点．【江苏高考2013】20.（本小题满分16分）设函数lnfxxax，xgxeax，其中a为实数.(1)若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，求a的范2围；(2)若gx在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证明你的结论.解：（1）'1()fxxa'()xgxea由题意：'()0fx对1,x恒成立即1ax对1,x恒成立1agx在1,上有最小值0a时，'()0gx恒成立，()gx在1,无最值0a时，由题意ln1aae综上：a的范围是：ae（2）gx在1,上是单调增函数'()0gx对1,x恒成立即xae对1,x恒成立1ae令()0fx，则lnxax则有()fx的零点个数即为ya与lnxyx图像交点的个数令ln()0xhxxx则'21ln()xhxx易知()hx在0,e上单调递增，在,e上单调递减在xe时取到最大值1()0hee3当0x时，ln()xhxx当x时，ln()0xhxx()hx图像如下所以由图可知：0a时，()fx有1个零点10ae时，()fx有2个零点1ae时，()fx有1个零点综上所述：0a或1ae时，()fx有1个零点10ae时，()fx有2个零点【江苏高考2015】19.（本小题满分16分）已知函数),()(23Rbabaxxxf.（1）试讨论)(xf的单调性；（2）若acb（实数c是a与无关的常数），当函数)(xf有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(，求c的值.【答案】（1）当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a上单调递减；4当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减．（2）1.c5考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点二．例题分析题型一：利用导数研究函数单调性【例1】已知f(x)＝lnx－ax.6(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.①当a≤0时，∵x＞0，∴f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝1a∈(0，＋∞)，当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在0，1a上单调递增；在1a，＋∞上单调递减．综上：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在0，1a上单调递增；在1a，＋∞上单调递减．(2)法一∵f(x)在(1,2)上为减函数，由(1)知a＞0，且1a，＋∞.故a＞0，1a≤1，∴a≥1.法二f(x)在(1,2)上单调递减，∴f′(x)＝1x－a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥1x在(1,2)上恒成立，∵x∈(1,2)时，1x＜1，∴a≥1，即a的范围为[1，＋∞)．7规律方法(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．跟踪练习一：1.(2015·成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析由已知可得f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3恒成立，又当x≥2时，2x3≥16，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．答案(－∞，16]2.设函数f(x)=ax-ax-2lnx.若f(x)在x=2处有极值,求实数a的值和f(x)的单调区间.因为f(x)在x=2处有极值,所以f'(2)=0,又f'(x)=a+2ax-2x,所以a+a4-1=0,所以a=45.所以f'(x)=45+245x-2x=225x(2x2-5x+2).由f'(x)=0,得x1=12,x2=2,又x0,所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下:x10,2121,222(2,+∞8)f'(x)+0-0+f(x)↗2ln2-65↘65-2ln2↗所以f(x)的单调增区间为10,2和[2,+∞),单调减区间为1,22.题型二：利用导数求函数的极值【例2】(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.9规律方法(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．跟踪练习二：【训练2】设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0)．(1)当a＝1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．解由题得f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图象过(0,1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＞0，解得x＜13或x＞1；令f′(x)＜0，解得13＜x＜1.所以函数在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在13，1上单调递减，极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．①当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；②当a≠0时，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围为43，＋∞.考点三利用导数求函数的最值【例3】(2014·泗阳中学)设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12.10(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,所以c=0.因为f'(x)=3ax2+b的最小值为-12,所以b=-12,a0,又直线x-6y-7=0的斜率为16,因此f'(1)=3a+b=-6,所以a=2,b=-12,c=0.(2)由(1)知f(x)=2x3-12x,所以f'(x)=6x2-12.令f'(x)0,得x-2或x2,令f'(x)0,得-2x2.故f(x)的单调增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),单调减区间是(-2,2).因为f(-1)=10,f(3)=18,f(2)=-82,所以f(x)在[-1,3]上的最大值是18,最小值是-82.[思想方法]1．最值与极值的区别与联系(1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有．2．求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．11[易错防范]1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.1.(2014·阜宁模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a0).设0a1,试讨论函数f(x)的单调性.f'(x)=1x-a-21-ax=22-axxa-1x,x0.令f'(x)=0,得x1=1,x2=1a-1,x1-x2=2a-1a.①当0a12时,由f'(x)0,得1x1a-1,故函数f(x)在11,-1a上单调递增,在(0,1)和1-1,a上单调递减.②当a=12时,f'(x)≤0恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当12a1时,由f'(x)0,得1a-1x1,故函数f(x)在1-1,1a上单调递增,在10,-1a和(1,+∞)上单调递减.2(2014·泰州模拟)已知函数f(x)=x3-ax2(a∈R).(1)若f'(1)=3.12①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②求f(x)在区间[0,2]上的最大值.(2)若当x∈[0,2]时,f(x)+x≥0恒成立,求实数a的取值范围.(1)①f'(x)=3x2-2ax,则f'(1)=3-2a=3