02第二节矩阵的运算

第二节矩阵的运算内容分布图示★矩阵的加法★数与矩阵的积★矩阵的线性运算规律★例1★例2★矩阵的乘法★例3★例4★例5★例6★矩阵的乘法的运算规律★例7★例8★线性方程组的矩阵表示★例9★转置矩阵及其运算性质★例10★例11★方阵的幂（例12）★方阵的行列式★例13★对称矩阵(例14)★例15★共轭矩阵★例16★内容小结★课堂练习★习题2-2★返回内容要点：一、矩阵的线性运算定义1设有两个nm矩阵)(ijaA和)(ijbB,矩阵A与B的和记作BA,规定为.)(221122222221211112121111mnmnmmmmnnnnmnijijbabababababababababaBA注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算.两个同型矩阵的和,即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.设矩阵),(ijaA记)(ijaA,称A为矩阵A的负矩阵,显然有OAA)(.由此规定矩阵的减法为)(BABA.定义2数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak,规定为.)(212222111211mnmmnnijkakakakakakakakakakaAkkA数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.它满足下列运算规律:设OCBA,,,都是同型矩阵,lk,是常数,则(1);ABBA(2))()(CBACBA;(3);AOA(4);)(OAA(5);1AA(6));()(klAAlk(7);)(lAkAAlk(8).)(kBkABAk注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3设.)(,)(2122221112112122211211snssnnnsijmsmmsssssmijbbbbbbbbbbBaaaaaaaaaaA矩阵A与矩阵B的乘积记作AB,规定为,)(212222111211mnmmnnnmijccccccccccAB其中skkjiksjisjijiijbabababac12211，().,,2,1;,,2,1njmi记号AB常读作A左乘B或B右乘A.注:只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时,两个矩阵才能进行乘法运算.若ABC，则矩阵C的元素ijc即为矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和.即sjisjijisjjjisiiijbabababbbaaaC22112121),,,(.矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的):（1）);()(BCACAB（2）;)(BCACCBA（3）;)(CBCABAC（4）).()()(kBABkAABk注:矩阵的乘法一般不满足交换律,即;BAAB例如,设,6342,2142BA则,168321663422142AB而,000021426342BA于是;BAAB且OBA从上例还可看出:两个非零矩阵相乘,可能是零矩阵,故不能从OAB必然推出OA或.OB此外,矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从BCAC必然推出.BA例如,设,0011,4001,3021CBA则,00114001001100113021BCAC但.BA定义4如果两矩阵相乘,有,BAAB则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵E,容易证明.,nmnnmnmnmmAEAAAE或简写成.AAEEA可见单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1设B是一个n阶矩阵，则B是一个数量矩阵的充分必要条件是B与任何n阶矩阵A可换.命题2设BA,均为n阶矩阵，则下列命题等价:（1）;BAAB（2）2222)(BABABA（3）2222)(BABABA（4）22))(())((BABABABABA三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组)1(,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa若记,,,2121212222111211mnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA则利用矩阵的乘法,线性方程组(1)可表示为矩阵形式：bAX(2)其中矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵.方程(2)又称为矩阵方程.如果),,2,1(njcxjj是方程组(1)的解,记列矩阵,21ncccC则A，这时也称C是矩阵方程(2)的解;反之,如果列矩阵C是矩阵方程(2)的解,即有矩阵等式bAC成立,则,x即),,2,1(njcxjj也是线性方程组(1)的解.这样,对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论.特别地,齐次线性方程组可以表示为.OAx将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.四、矩阵的转置定义6把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,称为A的转置矩阵,记作TA(或A).即若,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA则mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1);)(AATT(2);)(TTTBABA(3);)(TTkAkA(4).)(TTTABAB五、方阵的幂定义5设方阵nnijaA)(,规定.,,0为自然数个kAAAAEAkkkA称为A的k次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：(1));,(为非负整数nmAAAnmnm(2).)(mnnmAA注:一般地,,)(mmmBAABm为自然数命题3设BA,均为n阶矩阵，,BAAB则有,)(mmmBAABm为自然数，反之不成立。六、方阵的行列式定义7由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作||A或.detA注:方阵与行列式是两个不同的概念,n阶方阵是2n个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.方阵A的行列式||A满足以下运算规律(设BA,为n阶方阵,k为常数):(1));1(||||行列式性质AAT(2)|;|||AkkAn(3).||||||BAAB进一步ABABBA七、对称矩阵定义8设A为n阶方阵,如果,AAT即),,,2,1,(njiaajiij则称A为对称矩阵.显然，对称矩阵A的元素关于主对角线对称.例如0110,501096168均为对称矩阵.如果,AAT则称A为反对称矩阵.八、共轭矩阵定义9设)(ijaA为复（数）矩阵,记)(ijaA其中ija表示ija的共轭复数,称A为A的共轭矩阵.共轭矩阵满足以下运算规律(设BA,为复矩阵,k为复数,且运算都是可行的):(1);BABA(2);AA(3).BAAB例题选讲：矩阵的线性运算例1(讲义例1)已知052110351234,230412301321BA,求.23BA例2(讲义例2)已知,612379154257,864297510213BA且,2BXA求.X注:n阶数量矩阵aaaA000000=.naE例3(讲义例3)若,012321,132132BA求.AB例4设)4,0,1(A,011B.A是一个31矩阵,B是13矩阵,因此AB有意义,BA也有意义;但,1041011011)4,0,1(AB000401401400010410111410111)4,0,1(011BA.例5设naaaA21，B=nbbb21.（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则（1）nnkakakaaaak2121;（2）nnnnbabababbbaaa22112121;（3）nnnnbabababbbaaa22112121例6某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品,矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量,矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元),矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.总利润总收入利润单位价格单位丙乙甲ⅣⅢⅡⅠ丙乙甲ⅣⅢⅡⅠ4241323122211211323122211211434241333231232221131211,,ccccccccCbbbbbbBaaaaaaaaaaaaA其中,)3,2,1;4,3,2,1(kiaik是第i个工厂生产第k种产品的数量,1kb及)3,2,1(2kbk分别是第k种产品的单位价格及单位利润,1ic及)4,3,2,1(2ici分别是第i个工厂生产三种产品的总收入及总利润.则矩阵CBA,,的元素之间有下列关系:总利润总收入.4241323122211211324322421241314321421141323322321231313321321131322322221221312321221121321322121211311321121111ccccccccbabababababababababababababababababababababababa其中)2,1;4,3,2,1(332211jibababacjijijiij，即.ABC例7(讲义例4)求与矩阵0000100001000010A可交换的一切矩阵.例8(讲义例5)证明:如果,,BCCBACCA则有).()();()(ABCCABBACCBA例9(讲义例6)解矩阵方程,41212112XX为二阶矩阵.例10（1）设135241010121A,则140311502211TA.（2）设),1,3,2,1(A则1321TA.例11(讲义例7)已知,