2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)

一、填空题(本题16分，每空2分)1.若S(x)332,011(1)(1)(1),132xxxaxbxcx是三次样条函数，则a3，b3，c1．2.求积公式10311()()(1)434fxdxff的代数精度为2。3.设1-2-34A则()A5335.372，cond(A)=214.矩阵111122123A的LU分解为1001111100111110015.求方程cosxx根的牛顿迭代格式是1cos1sinnnnnnxxxxx。二、(12分)求不超过4次的多项式()Px，使它满足插值条件(0)(0)0,(1)(1)1,(2)2.PPPPP若上述数据来源于f(x)，给出误差估计。解法1：因为(0)(0)0,(1)(1)1,PPPP则先构造两点三次埃米特插值，2232100()12(1)011010(2)xxxHxxxx…………………………………………………………….8分又设223()()(1)PxHxAxx，代入(2)2,P得A=1/2,222223221()()(1)(2)(1)21(45)2PxHxAxxxxxxxxx余项为R(x)=(5)22()(1)(2)5!fxxx……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton差商表0000011111110-1221001/2………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2Nxxxxxxxxxx…………………12分三、(12分)求()xfxe在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式.(用勒让德正交多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2PxPxPxxx)解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2PxPxPxxx,2(,)21iiPPi…………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)(2.3504）xfPedxee,1111(,)20.7358xfPxedxe121211(,)(31)70.143132xfPxedxee…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2*1.1752,*31.1036(,)2(,)2/3fPfPeeeaaePPPP12222(,)7*0.3578(,)2/5fPeeaPP故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.17521.10360.3758(31)20.53671.10360.9963eeeepxexxxxxx。………….12分四、(12分)用Romberg求积的方法,计算积分102xIedx,(计算到龙贝格序列的第6个近似值)解：本题只要对积分10xedx使用Romberg算法，01[(0)(1)]2Tff,20111()222TTf,1204133STT4211132444TTff,2424133STT,2211611515CSS………….10分计算到R1，结果如下表所示：kTnSnCn00.68394010.6452350.63233320.6354100.6321350.632122因此0.402420I………….12分五、(12分)设方程组11112212112222axaxbaxaxb，（11220aa）证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.解：Jacobi迭代为…………2分其迭代矩阵1()DLU，谱半径为，………….6分而Gauss-Seidel迭代法为其迭代矩阵122211221122111220()0aaaaDLUaaaa,其谱半径为…………10分由于，()1()1BG故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。………….12分六、(12分)设方程()0fx有根，且'0()mfxM。试证明由迭代格式1()kkkxxfx(0,1,2,)k产生的迭代序列0kkx对任意的初值0(,)x，当20M时，均收敛于方程的根。证明：设()()xxfx，………….2分则''()1()xfx，故'1()1Mxm，………….5分从而可知，当20M时，'1()1x，…………10分即'()1x，从而由压缩映像定理可知结论成立。………12分七、(12分)用经典的四阶龙格-库塔方法求初值问题22301yxyy，取步长h=0.4,计算0.4y，计算过程保留四位小数。解：评分标准：公式：2分；计算结果：2分/个01001002002001201030022020400320312340,0.4,12,0320.2,0.13332230.220.2,0.12652230.220.4,0.241630.40.40.40221.06xxyxKfxyyxhhKfxyKyKxhhKfxyKyKxKfxhyhKyKyyKKKK508八、(12分)设有n阶矩阵A，p是最接近于A的特征值的一个常数，试简述如何用数值方法求A的与p最接近的那个特征值。答：（每步3分）第一步：将(A-pI)进行三角分解，(A-pI)=LU，(或P(A-pI)=LU，其中P为排列阵）．第二步：由Uv1=(1,1,…,1)T，解方程组求得v1,u1，其中111max()vuv第三步：由LUv2=Pu1（或LUv2=Pu1）,解方程组求得v2,u2，其中222max()vuv，…….1:,.max{}第四步对应的特征向量为jkkpuv