03矩阵的对角化与Jordan标准形

25第三讲矩阵的对角化与Jordan标准形基元素坐标向量加法元素加法坐标向量的加法数乘数与元素“乘”数与坐标向量相乘线性变换及其作用对应关系矩阵与坐标列向量的乘积对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Axb时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征值与特征向量1.定义：对m阶方阵A，若存在数，及非零向量（列向量）x，使得Axx,则称为A的特征值，x为A的属于特征值的特征向量。特征向量不唯一特征向量非零26(IA)x0有非零解，则det(IA)0，称det(IA)为A的多项式。[例1]122A212221，求其特征值和特征向量。[解]122det(IA)21202212(1)(5)012135属于特征值1的特征向量(IA)x0123222222022212301122312可取基础解系为11x0120x11属于5的特征向量(5IA)x01234222420224123可取基础解系为31x112.矩阵的迹与行列式27niii1trAa所有对角元素之和nii1detAnii1trA3.两个定理（1）设A、B分别为mn和nm阶矩阵，则tr(AB)tr(BA)（2）sylvster定理：设A、B分别为mn和nm阶矩阵，则mnmndet(IAB)det(IBA)即：AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。二、矩阵对角化的充要条件定理：n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特征向量。[证明]充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量12nx,x,,xL，则iiiAxxi1,2,,nL12n1122nnAxxxxxxLL1212nn0xxx0LO12nx,x,,xL线性无关，故12nPxxxL为满秩矩阵，28令12n00O，则有APP1PAP必要性：已知存在可逆方阵P，使121n0PAP0O将P写成列向量12nPPPPL，nP为n维列向量12n1122nnAPAPAPPPPLL可见，i为A的特征值，iP为A的特征向量，A具有n个线性无关的特征向量。推论：n阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。（充分条件）三、内积空间1.Euclid空间设V是实线性空间（kR），对于V中任何两个元素x、y均按某一规则存在一个实数与之对应，记为x,y，若它满足（1）交换律x,yy,x（2）分配律x,yzx,yx,z(3)齐次律kx,ykx,y29（4）非负性x,x0，当且仅当x0时，x,x0则称x,y为x与y的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid空间。对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以n维向量空间为例：T12nxL，T12nyL可定义内积niiii1x,yw，它满足内积的四条性质：（1）nniiiiiii1i1x,ywwy,x（2）nnniiiiiiiiiii1i1i1x,yzw()wwx,yx,z（3）nniiiiiii1i1kx,yw(k)kwkx,y（4）n2iii1x,xw0当且仅当ix0时，x,x0该内积可写为：Tx,yxWy，其中12nw0wW0wO更一般的，对实对称矩阵A，Tx,yxAy也满足内积的定义。正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于02.酉空间：设V是复线性空间（kC），对于V中任何两个元素x、y均按某一规则30存在一个实数与之对应，记为x,y，若它满足（1）交换律x,yy,x（2）分配律x,yzx,yx,z（3）齐次律kx,ykx,yorx,kykx,y（4）非负性x,x0，当且仅当x0时，x,x0则称x,y为x与y的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。以n维向量空间为例，A为厄米（HAA）正定（HxAx0）矩阵，nnTjiiji1j1x,yxAya较常见的比如12nAdiag[]L，iw0最简单：实Tx,yxy复Tx,yxy3.正交性：若x,y0，则称x与y正交。x与y的夹角：(x,y)cos|x||y|，称为x与y的夹角。4.Gram-Schmidt正交化手续设12nx,x,,xL为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操作（正交规范化或正交单位化）：o1111xy|x|o2'22211xxky选择合适的21k使'2x与1y正交，'21212111(x,y)(x,y)k(y,y)02121k(x,y)31'22'2xy|x|o3'33311322xxkyky选择31k、32k使'3x与1y和2y均正交''3132(x,y)(x,y)0'313131(x,y)(x,y)k03131kx,y'323232(x,y)(x,y)k03232kx,y'33'3xy|x|一般的，i1'iiijjj1xxkyi1,2,,nLijijkx,y'ii'ixy|x|12ny,y,,yL成为一组正交归一化向量：iiij0ij(y,y)1ij若12nx,x,,xL为一组基元素，则12ny,y,,yL成为标准正交基。对角化与Jordan标准形一、正规矩阵1.实对称矩阵与厄米矩阵实对称矩阵：实矩阵ATAA厄米矩阵：复矩阵AHAA实反对称矩阵：实矩阵ATAA反厄米矩阵：复矩阵AHAA2.正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵ATTAAAAI（1TAA）32酉矩阵：复矩阵AHHAAAAI（1HAA）3.正交相似变换和酉相似变换P为正交矩阵，A为实矩阵，1PAP为对A的正交相似变换；P为酉矩阵，A为复矩阵，1PAP为对A的酉相似变换。4.正规矩阵实矩阵A，若满足TTAAAA，则A为实正规矩阵；复矩阵A，若满足HHAAAA，则A为复正规矩阵。显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵；厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。5.相似矩阵具有相同的特征多项式相同的特征值、迹、行列式。11det(IPAP)det[P(IA)P]11det(P)det(IA)det(P)det(P)det(P)det(IA)det(IA)（det(AB)det(A)det(B)）二、酉对角化1.Schur引理：设数12n,,,L是n阶方阵A的特征值，则存在酉矩阵U，使121nUAU0O[证明]设1x是A的属于特征值1的特征向量，即111Axx，33111xux，并由其扩充为一组标准正交向量12nu,u,,uLHij0ijuu1ij令012nUuuuL，0U为酉矩阵HHHH111121nHHHHH221222n0012nnHHHHnn1n2nnuuuuuuuuuuuuuuUUuuuIuuuuuuuLLLMMMOML对A进行酉相似变换：H1HHH20012nijnnHnuuUAUAuuuuAuuLM第一列：HHHi1i111i110i1uAuuuuui11H001(n1)(n1)0UAUA0MHHH2222nH3123n(n1)(n1)HHn2nnHnuuuuuuAAuuuuuuuuLLMOMML相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A，其特征值为2n,,L，与上相同，可得一个酉矩阵1U，使得342H1112(n2)(n2)0UAUA0M依次类推，分别可找到酉矩阵23n2U,U,,UL使3H2223(n3)(n3)0UAUA0Mn1Hn2n2n2nUAU0令2n2012n210I0I0UU0U0U0ULU是酉矩阵，HUUIHUAU?n2n2HH00HHn211n2I01010I0UAUUAU0U0U0U0ULL1H001UAU0A1112HH1111112**10100*0U0A0U0UAU00A3512Hn*UAU0O[得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2.定理：n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是：A为正规阵（实或复）。[证明]由Schur引理：存在酉矩阵U使得1ijH2ntUAU0O1ijn12n,,,L是A的特征值。1H2HHjin0UAUtO充分性:已知A为正规阵，即HHAAAA，要证ijt0HHHHHHUAAUUAAUHH212H2LMMLO362211j22H22jttLMMLO由对角元素相等可得1jt0，2jt0，，njt0ijt012Hn0UAU0O必要性：已知存在酉矩阵U使12Hn0UAU0O，要证A为正规矩阵。HHHHHHUAAUUAAUHHHHHHHHUAUUAUUAUUAUHHHHUAAUUAAUU可逆HHAAAA[得证]说明：（1）不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如3712A03T10A23TTAAAAA不是正规矩阵但(A)1,3，两个特征值互异，可以相似变换对角化。可见，A可以对角化，但不能酉对角化。（2）实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。（若特征值全为实数，则可正交相似对角化）如12A21，特征值为12j，TT50AAAA05正规阵，但不可能对角化。不能对角化的矩阵一定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式——Jordan标准形。三、Jordan标准形1.Jord