03第三节正定二次型

第三节正定二次型内容分布图示★二次型有定性的概念★例13★正定矩阵的判定★定理6★矩阵的主子式★定理7★例4★例5★例6★内容小结★课堂练习★习题5-3★返回内容要点:一、二次型有定性的概念定义1具有对称矩阵A之二次型,AXXfT(1)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，则称AXXfT为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，且有非零向量0X，使000AXXT，则称AXXfT为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、正定矩阵的判别法定理1设A为正定矩阵,若BA≌)(合同与BA,则B也是正定矩阵.定理2对角矩阵),,,(21nddddiagD正定的充分必要条件是),,2,1(0nidi.定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4A为正定矩阵的充分必要条件A的正惯性指数.np定理4矩阵A为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C,使CCAT.即EA与合同。推论1若A为正定矩阵,则0||A.定理6秩为r的n元实二次型AXXfT,设其规范形为22122221rppzzzzz则(1)f负定的充分必要条件是,0p且.nr(即负定二次型,其规范形为22221nzzzf)(2)f半正定的充分必要条件是.nrp(即半正定二次型的规范形为nrzzzfr,22221)(3)f半负定的充分必要条件是,0p.nr(即nrzzzfr,22221)(4)f不定的充分必要条件是.0nrp(即22122221rppzzzzzf)定义2n阶矩阵)(ijaA的k个行标和列标相同的子式)1(21212221212111niiiaaaaaaaaakiiiiiiiiiiiiiiiiiikkkkkk称为A的一个k阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211nkaaaaaaaaaAkkkkkkk称为A的k阶顺序主子式.定理7n阶矩阵)(ijaA为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式),,2,1(0||nkAk.注：(1)若A是负定矩阵，则A为正定矩阵,。(2)A是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(nkAkk其中kA是A的k阶顺序主子式.(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:a.对称矩阵A是半正定（半负定）的;b.A的所有主子式大于（小于）或等于零；c.A的全部特征值大于（小于）或等于零.例题选讲：二次型有定性的概念例1(讲义例1)二次型,),,,(2222121nnxxxxxxf当0),,,(21Tnxxxx时,显然有,0),,,(21nxxxf所以这个二次型是正定的,其矩阵nE是正定矩阵.例2(讲义例2)二次型,4442233222312121xxxxxxxxxf将其改写成,0)2(),,(2321321xxxxxxf当02321xxx时,0),,(321xxxf,故),,(321xxxf是半负定,其对应的矩阵422211211是半负定矩阵.例3(讲义例3)2221212),(xxxxf是不定二次型,因其符号有时正有时负,如.0)1,2(,01)1,1(ff正定矩阵的判别法例4(讲义例4)当取何值时,二次型),,(321xxxf为正定.2332223121213216242),,(xxxxxxxxxxxxf.例5(讲义例5)判别二次型),,(zyxf为负定.xzxyzyxzyxf44665),,(222.例6(讲义例6)证明:如果A为正定矩阵,则1A也是正定矩阵.课堂练习1.设二次型,222),,(3121232221321xxxtxxxxxxxf试确定当t取何值时,),,(321xxxf为正定二次型.2.判别二次型312322213214542),,(xxxxxxxxf是否正定.3.设A,B分别为m阶,n阶正定矩阵,试判定分块矩阵BAC00是否为正定矩阵.