03第三节相似矩阵

第三节相似矩阵内容分布图示★相似矩阵与相似变换的概念★例1★相似矩阵的性质★例2★相似矩阵的特征值与特征向量★矩阵与对角矩阵相似的条件★例3★例4★例5★*矩阵可对角化的条件★*矩阵对角化的步骤★*例6★*例7★矩阵对角化的应用★内容小结★课堂练习★习题4-3★返回内容要点：一、相似矩阵的概念定义1设BA,都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使BAPP1,则称B是A的相似矩阵,并称矩阵A与B相似.记为BA~.对A进行运算APP1称为对A进行相似变换,称可逆矩阵P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:(1)反身性:对任意n阶矩阵A,有AA与相似;(2)对称性:若BA与相似,则B与A相似;(3)传递性:若A与B相似,则B与C相似,则A与C相似.两个常用运算表达式：(1)))((111BPPAPPABPP;(2)BPlPAPkPPlBkAP111)(,其中lk,为任意实数.二、相似矩阵的性质定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1)相似矩阵的秩相等;(2)相似矩阵的行列式相等;(3)相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理2n阶矩阵A与对角矩阵n21相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注:定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1若n阶矩阵A有n个相异的特征值n,,,21,则A与对角矩阵n21相似.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,使APP1为对角阵,则称方阵A可对角化.定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.即设i是矩阵A的in重特征值,则A与相似),,2,1()(ninnEArii。四、矩阵对角化的步骤若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现:(1)求出A的全部特征值s,,,21;(2)对每一个特征值i,设其重数为in,则对应齐次方程组0)(XAEi的基础解系由in个向量iinii,,21构成,即iinii,,21为i对应的线性无关的特征向量；(3)上面求出的特征向量ssnssnn,,,,,,,,,,,,21222211121121恰好为矩阵A的n个线性无关的特征向量;(4)令),,,,,,,,,,,,(21222211121121ssnssnnP,则.22111ssAPP五、矩阵对角化的应用1．利用矩阵对角化计算矩阵多项式定理4设)(f是矩阵A的特征多项式,则OAf)(.2．利用矩阵对角化求解线性微分方程组.22222233212211xdtdxxxxdtdxxxdtdx3．利用矩阵对角化求解线性方程组在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事教师职业.六、约当形矩阵的概念定义2在n阶矩阵A中,形如111J的矩阵称为约当块.若一个分块矩阵的所有子块都是约当块,即sJJJJ21中),,2,1(siJi都是约当块,则称J为约当形矩阵,或约当标准形.注:对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵.定理5对任意一个n阶矩阵A,都存在n阶可逆矩阵T使得,1JATT即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似.例题选讲:例1(讲义例1)设有矩阵,2004,1513BA试验证存在可逆矩阵5111P,使得A与B相似.例2.1011,1001BA容易算出A与B的特征多项式均为.)1(2但可以证明A与B不相似.事实上,A是一个单位阵,对任意的非异阵P有.111IPPIPPAPP因此若B与A相似,B也必须是单位阵,而现在B不是单位阵.所以A与B不相似例3(讲义例2)试对矩阵1513A验证前述定理2的结论.例4试对矩阵163053064A验证定理2的结论.注:本例子说明了A的特征值不全互异时,A也可能化为对角矩阵.例5(讲义例3)在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事教师职业.*例6(讲义例4)判断矩阵242422221A能否化为对角矩阵.*例7(讲义例5)设,00111100aA问a为何值时,矩阵A能对角化?课堂练习1.判断矩阵201335212A能否化为对角阵.2.判断下列两矩阵A,B是否相似..00100100,111111111nBA