03第三节逆矩阵

第三节逆矩阵内容分布图示★引例★逆矩阵的定义★例1★例２★例３★伴随矩阵★例4★逆矩阵与伴随矩阵的关系★例5★例6★例7★例8★逆矩阵的运算性质★矩阵方程★例9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★*矩阵多项式及其运算★内容小结★课堂练习★习题2-3★返回内容要点：一、逆矩阵的概念在数的运算中,对于数,0a总存在唯一一个数1a,使得.111aaaa数的逆在解方程中起着重要作用，例如，解一元线性方程bax当0a时，其解为bax1对一个矩阵A，是否也存在类似的运算？在回答这个问题之前，我们先引入可逆矩阵与逆矩阵的概念.定义1对于n阶矩阵A,如果存在一个n阶矩阵B,使得,EBAAB则称矩阵A为可逆矩阵,而矩阵B称为A的逆矩阵.命题若矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.定义2如果n阶矩阵A的行列式0||A,则称A为非奇导的,否则称为奇异的.二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系定义3行列式||A的各个元素的代数余子式ijA所构成的矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.称为矩阵A的伴随矩阵.定理1n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式0||A.且当A可逆时,有,||1*1AAA其中*A为A的伴随矩阵.由定理证明得伴随矩阵的一个基本性质.||**EAAAAA推论若EAB(或BAE),则1AB.三、逆矩阵的运算性质(1)若矩阵A可逆,则1A也可逆,且;)(11AA(2)若矩阵A可逆,数,0k则111)(AkkA;(3)两个同阶矩阵可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵,且;)(111ABAB(4)若矩阵A可逆,则TA也可逆,且有;)()(11TTAA(5)若矩阵A可逆,则11||||AA.四、矩阵方程对标准矩阵方程)3(,)2(,)1(,CAXBBXABAX利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质,通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵,可求出其解分别为)3(,)2(,)1(,1111CBAXBAXBAX而其它形式的矩阵方程,则可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解.五、矩阵多项式及其运算设mnxaxaax10)(为x的m次多项式,A为n阶矩阵,记,)(10mmAaAaEaA)(A称为矩阵A的m次多项式.因为矩阵lkAA,和E都是可交换的,所以矩阵A的两个多项式)(A和)(Af总是可交换的,即总有),()()()(AAfAfA从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式.例如.33)(,2)2)((3232AAAEAEAAEAEAE(1)如果,1PPA则,1PPAkk从而.)()(11111010PPPPaPPaEPPaAaAaEaAmmmm(2)如果),,,(21ndiag为对角阵,则),,,,(21knkkkdiag从而mmaaEa10)(knkkmnaaa212110111.)()()(21n例题选讲：逆矩阵的概念例1设,0112A求A的逆矩阵.例2证明列矩阵A无逆矩阵:.0001A例3(讲义例1)如果,00000021naaaA其中),,2,1(0niai.试验证./1000/1000/1211naaaA伴随矩阵及其与逆矩阵的关系例4(讲义例2)设矩阵,523012101A求矩阵A的伴随矩阵*A.例5设CBA,,均为n阶矩阵,且满足.EABC则下式中哪些必定成立,理由是什么?.)5(;)4(;)3(;)2(;)1(ECABECBAEACBEBACEBCA例6(讲义例3)求例4中矩阵A的逆矩阵1A.例7求110321111A的逆阵.例8(讲义例4)已知,5000004000003000002000001A试用伴随矩阵法求1A.矩阵方程例9设有线性方程组:.22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(1)假定这个方程组的系数矩阵为A,则方程组可改写为bAx(2)其中.,2121nnbbbbxxxx当0||A时,1A存在.用1A左乘(2)式得bAAxA11)(即.1bAx例10(讲义例5)设CBA,,是同阶矩阵,且A可逆,下列结论如果正确,试证明之,如果不正确,试举反例说明之.(1)若,ACAB则;CB(2)若,CBAB则.CA例11(讲义例6)设,130231,3512,343122321CBA求矩阵X使满足.CAXB例12设矩阵BA,满足,82*EBABAA其中,121A*A为A的伴随矩阵,E为单位矩阵,求矩阵.B例13设,,2001,4121PAPP求.nA例14(讲义例7)设方阵A满足方程,2OcEbAaA证明A为可逆矩阵,并求1A(cba,,为常数,0c).例15设三阶矩阵A,B满足关系:,61BAABAA且7/10004/10002/1A,求B.课堂练习1.求方阵343122321A的逆矩阵.2.设CBA,,是同阶矩阵,且A可逆,下列结论如果正确,试证明之,如果不正确,试举反例说明之.(1)若,OAB则;OB(2)若,OBC则.OB3.求解矩阵方程.41234151X