2011年中考数学试题分类38尺规作图

（第8题图）第38章尺规作图一、选择题1.（2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点,MN，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若ADC的周长为10，7AB，则ABC的周长为（）A.7B.14C.17D.20DMNCAB【答案】C二、填空题三、解答题1.（2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=32,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和）【答案】（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA∴OD∥AC∴∠ODB=∠C∵∠C=90º∴∠ODB=90º即：OD⊥BC∵OD是⊙O的半径∴BC是⊙O的切线。(2)如图，连结DE。设⊙O的半径为r，则OB=6-r，在Rt△ODB中，∠ODB=90º，∴0B2=OD2+BD2即：(6-r)2=r2+(32)2∴r=2∴OB=4∴∠OBD=30º，∠DOB=60º∵△ODB的面积为3223221，扇形ODE的面积为322360602∴阴影部分的面积为32—32。2.（2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作图：②猜想：③验证：（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.①作图：②猜想：③验证：【答案】(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分②猜想：∠A+∠B=90°，………………4分③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………5分（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分②猜想：∠B=3∠A………………8分CBA（第23题图①）（第23题图②）CBA③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。………………9分3.（2011山东威海，20，8分）我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．（保留必要的作图痕迹）图①图②【答案】解：（1）能，点1O就是所求作的旋转中心．图①图②（1）能，点2O就是所求作的旋转中心．4.（2011浙江杭州，18，6）四条线段a，b，c，d如图，a：b：c：d＝1：2：3：4．(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率．【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略(2)四条线段中任取三条共有四种等可性结果：（a，b，c），（a，b，d），（a，c，d），（b，c，d），其中能组成三角形的只有（b，c，d），所以以它们为边能作出三角形的概率是14．5.（2011四川重庆，20，6分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)【答案】6.（2011甘肃兰州，25，9分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连结AD、CD。（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①写出点的坐标：C、D；②⊙D的半径=（结果保留根号）；③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由。【答案】（1）（2）①C（6，2），D（2，0）②25③54④相切。理由：∵CD=25，CE=5，DE=5∴CD2+CE2=25=DE2∴∠DCE=90°即CE⊥CD∴CE与⊙D相切。7.（2011重庆江津，23，10分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3).ABCOABCOxyDE(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.【答案】(1)存在满足条件的点C:作出图形，如图所示，作图略；（2）作出点A关于x轴的对称点A/(2,-2),连接A/B，与x轴的交点即为所求的点P.设A/B所在的直线的解析式为：y=kx+b,把A/(2,-2),B(7,3)分别代入得：2237bkbk解得：41bk·所以：y=x-4·当y=0时，x=4,所以交点P为（4，0）·8.(2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．解：已知：求作：【答案】：解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.求作：一点P，使PA＝PB＝PC.(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P.A(2,2).B(7,3)yOx第23题图9.(2011江苏南京，27，9分)如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．【答案】解：⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴12CDAB，∴CD=BD．∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．∴E是△ABC的自相似点．⑵①作图略．作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．则P为△ABC的自相似点．BBBCCCAAADPE①②③(第27题)②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴12PBCABC，12PCBACB．∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．∴1807A．∴该三角形三个内角的度数分别为1807、3607、7207．10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。【答案】解：(1)如右图所示．……………………(3分)(2)S=2[14π·12+14π·(2)2+1+150360π·12]=7π3+2．………………………(6分)11.（2011重庆市潼南,19,6分）画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为.BA(M)DCNPQBA(M)DCNPQ（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）.已知：求作：【答案】已知：线段a、b、角-------------1分求作：△ABC使边BC=a，AC=b，∠C=------------2分画图（保留作图痕迹图略）--------------6分12.（2011湖北宜昌，23，10分）如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心0；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由.（第23题图1）（第23题图2）【答案】解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一条垂线(或者∠ABC的平分线)即评1分，(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC的顶点)，∵OX＝BOsin∠ABM，P1Z＝BP1sin∠ABM．当BP1＞BO时，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．这时，BM与AC的交点P是符合题19题图ab意的BP长度最大的点.（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）这时⊙P的面积就是S的最大值.∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴Rt△ABC∽Rt△APE，（5分）∴ABPA=BCPE.∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝5.设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,PC＝PE，∴51x=2x，∴x＝522．（6分）②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则52y=1y，∴y=512（7分）③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF＝z，则22z=1z，∴z=32（8分）由①，②