04南航戴华《矩阵论》第四章l矩阵的因子分解

第4章矩阵的因子分解4.1初等矩阵4.2满秩分解4.3三角分解4.4QR分解4.5Schur定理与正规矩阵4.6奇异值分解4.1初等矩阵4.1.1初等矩阵4.1.2初等下三角矩阵4.1.3Householder矩阵4.1.1初等矩阵定义4.1.1设，σ为一复数，如下形式的矩阵nCvu,)1.1.4(),,(HuvIvuE称为初等矩阵.使得和可适当选取对任意非零向量vuCban,,,)3()3.1.4(),,(bavuE定理4.1.1初等矩阵E(u,v,σ)具有如下性质：;1)),,(det()1(uvvuEH矩阵也是初等矩阵可逆，并且其逆，则如果),,(1)2(vuEuvH)2.1.4(),,(),,(1vuEvuE.1uvH其中4.1.2初等下三角矩阵，则令1,,),,,0,,0(,1iTniiiievlllu)1,,()(iiiiielElLL称为初等下三角矩阵,即)4.1.4(1001101)(,,1iniiTiiiiillelIlLL.)()1,,(,1)det(1.1.41iiiiiilLelELL并且知由定理对初等下三角矩阵，当ij时，有)5.1.4(10100101)()(,1,1njjjniiiTjjTiijjiillllelelIlLlL用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的第k行减去第i行乘以。对于，如果，取),,1(niklki)(ijaA0ija)6.1.4(,,1,nikaalijkjki..),(,),,1(Li这就是消去法的一步元素全为零的则jnjiA4.1.3Householder矩阵取u=v=w,σ=2，并且w是单位向量，即||w||=1，初等矩阵)7.1.4(2)2,,()(HwwIwwEwH称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。并且若上述条件成立，则使H(w)a=b成立的单位向量w可取为)9.1.4()(babaewi其中θ为任一实数。定理4.1.2Householder矩阵H(w)具有如下性质：;1))(det()1(wH;)()()()2(1wHwHwHH的充分必要条件是使得则存在单位向量且设bawHwbaCban)(,,)3()8.1.4(,abbabbaaHHHH4.2满秩分解定理4.2.1（满秩分解定理）设m×n矩阵A的秩为r0,则存在m×r矩阵B和r×n矩阵C使得BCA并且rank(B)=rank(C)=r.•什么是矩阵的满秩分解？•矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩分解是否唯一？•如何计算矩阵的满秩分解？•满秩分解有什么应用？满秩分解的应用：•有关结论的证明。•计算广义逆矩阵。4.3三角分解设A=(aij)是n阶矩阵，如果A的对角线下(上)方的元素全为零，即对ij,aij=0（对ij,aij=0），则称矩阵A为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵。•什么是矩阵的LU分解？•矩阵的LU分解是否存在？如果存在，LU分解是否唯一？•如何计算矩阵的LU分解？•LU分解有什么应用？上（下）三角矩阵的性质定理4.3.1（LU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得LUA的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零,即1,,1,011nkkkAk定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)和单位上三角矩阵U使得LDUA的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即，并且)1,,1(0niknkdadkkk,,2,,1111分解式称为矩阵A的LDU分解。LDUA一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵，A未必能作LU分解和LDU分解。定义4.3.1设ei是n阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)，以为列作成的矩阵称为n阶排列矩阵，其中是1,2,…n的一个排列。neee,,,21],,,[21niiieeeniii,,,21定理4.3.3设A是n阶非奇异矩阵，则存在排列矩阵P使得LDUULPA~其中L是单位下三角矩阵,是上三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。U~•排列矩阵的性质。•排列矩阵的作用。LU分解的应用：•求解线性方程组。•求解矩阵特征值问题。4.4QR分解定理4.4.1设A是n阶非奇异实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵Q和非奇异实（复）上三角矩阵R使得)1.4.4(QRA且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。•什么是矩阵的QR分解？•矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解是否唯一？•如何计算矩阵的QR分解？•QR分解有什么应用？定理4.4.3设A是矩阵，且，则存在m阶正交（酉）矩阵Q和行满秩矩阵R使得nm0)(rAranknr0RQA或A有分解RQA1行满秩矩阵。是列正交规范矩阵，是其中nrRrmQ1定理4.4.2设A是实（复）矩阵，且其n个列向量线性无关，则存在m阶正交（酉）矩阵Q和n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得0RQAnmQR分解的应用：•求解线性方程组。•求解矩阵特征值问题。•求解线性最小二乘问题。4.5Schur定理与正规矩阵定义4.5.1使得矩阵阶正交（酉），如果存在UnCRBAnnnn)(,)(11BAUUAUUBAUUAUUHT则称A正交（酉）相似于B。定理4.5.1(Schur定理)任何一个n阶复矩阵A都酉相似于一个上三角矩阵，即存在一个n阶酉矩阵U和一个n阶上三角矩阵R使得)1.5.4(RAUUH其中R的对角元是A的特征值，它们可以按要求的次序排列。定义4.5.2，如果nnCA)5.5.4(AAAAHH则称A为正规矩阵。定理4.5.2n阶矩阵A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件为A是正规矩阵。推论4.5.1若A是n阶Hermite矩阵，则A必酉相似于实对角矩阵，即存在n阶酉矩阵U使得)6.5.4(AUUH特征值。的实是，其中Anidiagin),,1(),,(1(4.5.6)式称为Hermite矩阵A的谱分解式。定理4.5.3设A，B均为n阶正规矩阵，并且AB=BA，则存在n阶酉矩阵U使得与同时为对角矩阵。AUUHBUUH定理4.5.4任何n阶实矩阵A都正交相似于一个拟上三角矩阵，即存在一个n阶正交矩阵Q和一个n阶拟上三角矩阵R使得)7.5.4(RAQQT其中R是块上三角矩阵（或称拟上三角矩阵）,其对角块为1阶块或2阶块,每个1阶块是A的实特征值,而每个2阶块的两个特征值是A的一对共轭复特征值,且R的对角块可以按要求的次序排列。推论4.5.2若A是n阶实对称矩阵，则A正交相似于实对角矩阵，即存在n阶正交矩阵Q使得)13.5.4(AQQT特征值。的实是，其中Anidiagin),,1(),,(14.6奇异值分解则设引理,1.6.4nmCA)1.6.4()()()(ArankAArankAArankHH则设引理,2.6.4nmCA；的特征值均为非负实数与HHAAAA)1().()()2(ArankAAAAHH等于重特征值按重数计算值的个数且非零特征的非零特征值相同，并与定义4.6.1使得和非零向量如果存在非负实数设mnnmCvCuCA,,)2.6.4(,uvAvAuH则称σ为A的奇异值，u和v分别称为A对应于奇异值σ的右奇异向量和左奇异向量。由(4.6.2)可得)3.6.4(2uvAAuAHH)4.6.4(2vAuvAAH的特征向量。对应于特征值和分别是和的特征值，而的特征值，也是是因此22HHHHAAAAvuAAAA定理4.6.1若A是正规矩阵，则A的奇异值是A的特征值的模。定理4.6.2设A是矩阵，且rank(A)=r，则存在m阶酉矩阵V和n阶酉矩阵U使得nm)5.6.4(000AUVH.0),,(11rrdiag，且其中(4.6.5)称为矩阵A的奇异值分解.•奇异值分解的计算•奇异值分解的应用