040第五章二次型(习题一)

１第五章习题课（一）一、复习内容：1、下二次型是否是矩阵表示法？121231233125647209()4803779174nnnxxfxxxxxxxxxx．2、若XCY表示一个非退化的线性替换，则1YCX是否也表示一个非退化的线性替换？3、一个二次型经非退化的线性替换变成另一二次型，两个二次型的矩阵有什么关系？4、矩阵的合同与矩阵的等价是什么关系？5、数域P上的任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成标准型．6、化二次型为标准型的方法。7、复数域和实数域上的二次型的规范形都是什么样的形式？是否是唯一的？8、二次型正惯性指数、负惯性指数和符号差．9、任一复数的对称矩阵一定合同于一个形式为000rE２的对角矩阵（r为矩阵的秩）．10、两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是他们的秩相等．11、任一实对称矩阵一定合同于一个形式为0000000prpEE的对角矩阵（其中矩阵中p等于对称矩阵所对应的二次型的正惯性指数，r等于对称矩阵的秩）．二、习题讲解1、2322P秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和。证明：设A是秩为r的对称矩阵，因为对称矩阵都合同于一对角矩阵，即存在可逆矩阵C，使得1/00rddCAC1000d2000d３0000rd12+rDDD。因此/11()ACDC/1112()(+)rCDDDC/11/11/1112()()()rCDCCDCCDC1/11/11/112()()()rCDCCDCCDC12rBBB，其中/11()iiBCDC都是秩为1的对称矩阵。2、2333P证明：12n与12niii合同，其中121,,,iii是1,2,,n的一个排列。证明：构造一个二次型222121122(,,,)nnnfxxxxxx,此二次型的矩阵为４12n。作非退化线性替换1212niiniyxyxyx则二次型变为222121122(,,,)nnnfxxxxxx1222212niiniyyy，后面二次型的矩阵是12niii。所以12n与12niii合同。3、2334P设A是一个n级矩阵，证明：1）A是反对称矩阵的充要条件是对任一个n维向量X，有５/0XAX。2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X，有/0XAX。那么0A。证明：1）必要性：设A为反对称矩阵，/AA，则对任意的n维向量X，有/////()XAXXAXXAX，且///()XAXXAX，故/0XAX。充分性：设对任意的n维向量X，都有/0XAX，要证明A是反对称矩阵，即/AA，也就是证明(,1,2,,)ijjiaaijn。取/(0,,0,1,0,,0)(1,2,,)iiXin，则有12/(0,,0,1,0,,0)0iiiiiiniaaXAXaa，在取/12(1,1,0,,0)X，有11122122/121211122122(1,1,0,,0)**aaaaXAXaaaa12210aa。同样的方法可取６/(0,,0,1,0,0,1,0,,0)(,1,2,,)ijijXijn，可得0()ijjiaaij。故(,1,2,,)ijjiaaijn，即/AA。2）由假设/AA，对任意的n维向量X，有/0XAX。取/(0,,0,1,0,,0)(1,2,,)iiXin，有12/(0,,0,1,0,,0)0iiiiiiniaaXAXaa，再取/(0,,0,1,0,0,1,0,,0)(,1,2,,)ijijXijn，则有/ijijiiijjijjXAXaaaa20ijjiijaaa，所以0A。4、2335P如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共分为几类？解：1）共(1)(2)2nn类。这是因为实对称矩阵A与B合同时，他们都与下对角矩阵７111100pr，合同。秩r为0，只有一类；秩r为1，有两类；秩r为2，有三类；…；秩r为n，有n+1类；所以，共有(1)(2)2nn类。5、2336P一个实二次型可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积的充要条件是，它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1。证明：必要性：设1211221122(,,,)()()nnnnnfxxxaxaxaxbxbxbx1）若两个一次多项式的系数对应成比例，即(1,2,,)iibkain，不妨设10a，令1112222nnnnyaxaxaxyxyx，有2121(,,,)nfxxxky，即二次型的秩为1。2）若两个一次多项式的系数对应不成比例，不妨设８1212aabb，令111222112233nnnnnnyaxaxaxybxbxbxyxyx，有1212(,,,)nfxxxyy。再令11211233nnyzzyzzyzyz，有221212(,,,)nfxxxzz。故二次型的秩为2，符号差为0。充分性：1）若二次型12(,,,)nfxxx的秩为1，则可经非退化线性替换使2121(,,,)nfxxxky，其中11122nnyaxaxax，故2121122(,,,)()nnnfxxxkaxaxax。2）若二次型12(,,,)nfxxx的秩为2，符号差为0，则可经非退化线性替换使2212121212(,,,)()()nfxxxyyyyyy。其中11122nnyaxaxax，21122nnybxbxbx。故12yy和12yy也都是12,,,nxxx的一次齐次多项式，因此12(,,,)nfxxx可以表示成12,,,nxxx的两个一次齐次多项式的乘积。