04第四节实对称矩阵的对角化

第四节实对称矩阵的对角化一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题.本节我们仅对A为实对称矩阵的情况进行讨论.实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.内容分布图示★实对称矩阵的性质(1)★实对称矩阵的性质(2)★对称矩阵对角化的方法★例1★例2★例3★例4★内容小结★课堂练习★习题4-4★返回内容要点：定理1实对称矩阵的特征值都为实数.注:对实对称矩阵A，因其特征值i为实数,故方程组0)(XEAi是实系数方程组,由0||EAi知它必有实的基础解系,所以A的特征向量可以取实向量.定理2设21,是对称矩阵A的两个特征值,21,pp是对应的特征向量.若21,则1p与2p正交.定理3设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则矩阵EA的秩knEAr)(,从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量.定理4设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使APP1,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P将实对称矩阵A对角化的步骤为：(1)求出A的全部特征值s,,,21;(2)对每一个特征值i,由0)(XAEi求出基础解系（特征向量）;(3)将基础解系（特征向量）正交化；再单位化;(4)以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P，使APP1.注：P中列向量的次序与矩阵对角线上的特征值的次序相对应.例题选讲：例1(讲义例1)设实对称矩阵,320222021A求正交矩阵P,使APP1为对角矩阵.例2(讲义例2)设对称矩阵,310130004A试求出正交矩阵P,使APP1为对角阵.例3已知aaA2020002(其中0a)有一特征值为1,求正交矩阵P使得APP1为对角矩阵.例4设2112A,求.nA课堂练习1.设实对称矩阵,020212022A试求正交矩阵P,使APP1为对角矩阵.2.设n阶实对称矩阵A满足AA2,且A的秩为r,试求行列式det)2(AE的值.