05数据的概括性度量.

第5讲数据的概括性度量内容提要1集中趋势的度量2离散程度的度量3偏态与峰态的度量数据分布的特征集中趋势(位置)偏态和峰态（形状）离中趋势(分散程度)1集中趋势的度量1分类数据：众数2顺序数据：中位数和分位数3数值型数据：平均数4众数、中位数和平均数的比较集中趋势(centraltendency)1.一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度2.测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值3.不同类型的数据用不同的集中趋势测度值4.低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据分类数据：众数众数(mode)1.一组数据中出现次数最多的变量值2.适合于数据量较多时使用3.不受极端值的影响4.一组数据可能没有众数或有几个众数5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据众数(不惟一性)无众数原始数据:10591268一个众数原始数据:659855多于一个众数原始数据:252828364242分类数据的众数(例题分析)不同品牌饮料的频数分布饮料品牌频数比例百分比(%)可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占被调查总人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即Mo＝可口可乐顺序数据的众数(例题分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)非常不满意不满意一般满意非常满意24108934530836311510合计300100.0统计函数—MODE顺序数据：中位数和分位数中位数(median)1.排序后处于中间位置上的值Me50%50%2.不受极端值的影响3.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据4.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即min1eniiMx中位数(位置和数值的确定)位置确定21n中位数位置为偶数为奇数nxxnxMnnne1222121数值确定顺序数据的中位数(例题分析)解：中位数的位置为(300+1)/2＝150.5从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中中位数为Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—数值型数据的中位数(9个数据的算例)【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789中位数1080521921n位置数值型数据的中位数(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:66075078085096010801250150016302000位置:123456789105.5211021n位置102021080960中位数统计函数—MEDIAN四分位数(quartile)1.排序后处于25%和75%位置上的值2.不受极端值的影响3.主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%四分位数(位置的确定)方法2：较准确算法4)1(341ULnQnQ位置位置方法1：定义算法434ULnQnQ位置位置四分位数(位置的确定)方法3：其中[]表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数的位置，要么是整数，要么在两个数之间0.5的位置上方法4：Excel给出的四分位数位置的确定方法如果位置不是整数，则按比例分摊位置两侧数值的差值2121nQ位置43LnQ位置413UnQ位置顺序数据的四分位数(例题分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4=225从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中四分位数为QL=不满意QU=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—数值型数据的四分位数(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:12345678975.649325.249UL位置位置QQ5.79725.0)780850(780LQ5.143775.0)12501500(1250UQ方法1数值型数据的四分位数(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:1234567895.74)19(35.2419UL位置位置QQ15652163015008152850780ULQQ方法2数值型数据：平均数简单平均数(Simplemean)设一组数据为：x1，x2，…，xn(总体数据xN)样本平均数nxnxxxxniin121NxNxxxNiiN121总体平均数加权平均数(Weightedmean)设各组的组中值为：M1，M2，…，Mk相应的频数为：f1，f2，…，fknfMffffMfMfMxkiiikkk1212211样本加权平均总体加权平均NfMffffMfMfMkiiikkk1212211185120222001nfMxkiii加权平均数(例题分析)某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mifi140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合计—12022200加权平均数(权数对均值的影响)甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下甲组：考试成绩（x）:020100人数分布（f）：118乙组：考试成绩（x）:020100人数分布（f）：811)(82108100120101分甲nxxnii)(12101100120801分乙nxxnii统计函数—AVERAGE平均数(数学性质)1.各变量值与平均数的离差之和等于零2.各变量值与平均数的离差平方和最小niixx12min)(niixx10)(中位数和平均数数学性质的验证几何平均数(geometricmean)1.n个变量值乘积的n次方根2.适用于对比率数据的平均3.主要用于计算平均增长率4.计算公式为5.可看作是平均数的一种变形nniinnmxxxxG121nxxxxnGniinm121lg)lglg(lg1lg几何平均数(例题分析)【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率%91.114%120%116%109321nnmxxxG年平均增长率＝114.91%-1=14.91%几何平均数(例题分析)【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率%0787.81%9.101%5.125%1.102%5.1044G算术平均：%5.84%9.1%5.25%1.2%5.4G几何平均：统计函数—GEOMEAN众数、中位数和平均数的比较众数、中位数和平均数的关系左偏分布均值中位数众数对称分布均值=中位数=众数右偏分布众数中位数均值众数、中位数、平均数的特点和应用1.众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用2.中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用3.平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用数据类型与集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据顺序数据间隔数据比率数据适用的测度值※众数※中位数※平均数※平均数—四分位数众数几何平均数—众数中位数中位数——四分位数四分位数———众数2离散程度的度量1分类数据：异众比率2顺序数据：四分位差3数值型数据：方差和标准差4相对离散程度：离散系数离中趋势1.数据分布的另一个重要特征2.反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)3.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度4.不同类型的数据有不同的离散程度测度值分类数据：异众比率异众比率(variationratio)1.对分类数据离散程度的测度2.非众数组的频数占总频数的比例3.计算公式为4.用于衡量众数的代表性imimirfffffv1异众比率(例题分析)解：在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好%707.050151501550rv不同品牌饮料的频数分布饮料品牌频数比例百分比(%)可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100顺序数据：四分位差四分位差(quartiledeviation)1.对顺序数据离散程度的测度2.也称为内距或四分间距3.上四分位数与下四分位数之差Qd=QU–QL4.反映了中间50%数据的离散程度5.不受极端值的影响6.用于衡量中位数的代表性四分位差(例题分析)解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为4,非常满意为5。已知QL=不满意=2QU=一般=3四分位差为Qd=QU-QL=3–2=1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—数值型数据：方差和标准差极差(range)1.一组数据的最大值与最小值之差2.离散程度的最简单测度值3.易受极端值影响4.未考虑数据的分布R=max(xi)-min(xi)5.计算公式为平均差(meandeviation)1.各变量值与其平均数离差绝对值的平均数2.能全面反映一组数据的离散程度3.数学性质较差，实际中应用较少4.计算公式为未分组数据组距分组数据nxxMnii1dnfxMMkiii1d平均差(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~240145155165175185195205215225235491627201710845403020100102030405016027032027001