05第五节矩阵的初等变换

第五节矩阵的初等变换内容分布图示★初等变换★例1★阶梯形矩阵★定理1★例2★例3★初等矩阵★定理2★例4★求逆矩阵的初等变换法（定理3）★例5★例6★例7★例8★用初等变换法求解矩阵方程BAX★例9★例10★例11★内容小结★课堂练习★习题2-5★返回内容要点：一、矩阵的初等变换在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大的方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换.定义1矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)交换矩阵的两行(交换ji,两行,记作jirr);(2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(第i行乘数k,记作kri);(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行(第j行乘k加到i行,记为jikrr).把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把r换成c).初等行变换与初等列变换统称为初等变换.注:初等变换的逆变换仍是初等变换,且变换类型相同.例如，变换jirr的逆变换即为其本身；变换kri的逆变换为kri1；变换jikrr的逆变换为jirkr)(或jikrr.定义2若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价,记为BA~（或BA）.注：在理论表述或证明中，常用记号“~”，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1)反身性AA~;(2)对称性若BA~,则AB~;(3)传递性若BA~,CB~,则CA~.一般地,称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1)零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.一般地,称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：(1)各非零行的首非零元都是1；(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.一般地，矩阵A的标准形D具有如下特点：D的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.定理1任意一个矩阵nmijaA)(经过有限次初等变换,可以化为下列标准形矩阵.0011)()()()(rnrmrrmrnrrOOOErrA行列注:定理1的证明也实质上给出了下列结论:定理1任一矩阵A总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,并进而化为行最简形矩阵.根据定理1的证明及初等变换的可逆性,有推论如果A为n阶可逆矩阵,则矩阵A经过有限次初等变换可化为单位矩阵E,即.~EA二、初等矩阵定义3对单位矩阵E施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵.三种初等变换分别对应着三种初等矩阵.(1)E的第ji,行(列)互换得到的矩阵列列列行jijijiE1101111011),((2)E的第i行(列)乘以非零数k得到的矩阵列行iikkiE;11))(((3)E的第j行乘以数k加到第i行上,或E的第i列乘以数k加到第j列上得到的矩阵列列列行jijikkijE.1111))((命题1关于初等矩阵有下列性质：(1)),(),(1jiEjiE;));(())((11kiEkiE)).(())((1kijEkijE(2);1|),(|jiE;|))((|kkiE1|))((|kijE定理2设A是一个nm矩阵,对A施行一次某种初等行(列)变换,相当于用同种的)(nm阶初等矩阵左（右）乘A.三、求逆矩阵的初等变换法在第二章第三节中,给出了矩阵A可逆的充要条件的同时,也给出了利用伴随矩阵求逆矩阵1A的一种方法,即,||1*1AAA该方法称为伴随矩阵法.对于较高阶的矩阵,用伴随矩阵法求逆矩阵计算量太大,下面介绍一种较为简便的方法初等变换法定理3n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积.因此，求矩阵A的逆矩阵1A时，可构造矩阵nn2矩阵)(EA,然后对其施以初等行变换将矩阵A化为单位矩阵E，则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵E化为1A，即)(EA初等行变换)(1AE这就是求逆矩阵的初等变换法.四、用初等变换法求解矩阵方程BAX设矩阵A可逆，则求解矩阵方程BAX等价于求矩阵BAX1，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵)(BA，对其施以初等行变换将矩阵A化为单位矩阵E，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵B化为BA1，即)(BA初等行变换)(1BAE.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程BAX的方法.同理,求解矩阵方程,BXA等价于计算矩阵,1BA亦可利用初等列变换求矩阵1BA.即1BAEBA初等列变换.例题选讲：矩阵的初等变换例1(讲义例1)已知矩阵,37413741174316923A对其做如下初等行变换:374169231743137413741374117431692331rrA.0000143000143103741000033010014310374123141312103Brrrrrrrr记作这里的矩阵B依其形状的特征称为行阶梯形矩阵.例2用初等变换化0321050713541420矩阵为对角阵.例3(讲义例2)将矩阵210253143212A化为标准形.例4(讲义例3)设有矩阵,110211103A而,102010001))2(13(,100001010)2,1(33EE则,110103211110211103100001010)2,1(3AE即用)2,1(3E左乘A,相当于交换矩阵A的第1与第2行.又,112215105102010001110211103))2(13(3AE即用))2(13(3E右乘A,相当于将矩阵A的第3列乘2加于第1列.求逆矩阵的初等变换法例5把可逆矩阵023111021A分解为初等矩阵的乘积.例6(讲义例4)设,343122321A求1A.例7(讲义例5)已知矩阵,523012101A求1)(AE.用初等变换法求解矩阵方程BAX例8求下列n阶方阵的逆阵:),,,2,1(0,21niaaaaAinA中空白处表示为零.例9(讲义例6)求矩阵X,使BAX,其中.341352,343122321BA例10(讲义例7)求解矩阵方程,XAAX其中.010312022A例11求解矩阵方程,2XAXA其中321011324A.课堂练习1.化矩阵523012101A为矩阵的标准形式.2.求矩阵523012101A的逆矩阵.3.已知n阶方阵,1000110011102222A求A中所有元素的代数余子式之和njiijA1,.