06微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用第一节拉格朗日定理和函数的单调性【教学目的】Rolle中值定理，Lagrange中值定理，用导数讨论函数的单调性。一、费马定理——可微极值点的必要条件定理5.3：设ⅰ、()fx定义在0()Ux，且在点0x可导，ⅱ、0x为()fx的极值点，则必有'0()0fx注：先回顾极值点的定义。二、微分中值定理1、Rolle中值定理定理6.1：设()fx满足ⅰ、()[,]fxCab，ⅱ、()fx在(,)ab上可导，ⅲ、()()fafb，则至少存在一点'(,),..()0abstf。分析：几何意义：曲线存在一条水平切线。证明思路：找一极值点（闭区间连续函数的性质），再由费马定理，从而得出结果。2、Lagrange中值定理定理6.2：若()fx满足ⅰ、()[,]fxCab，ⅱ、()fx在(,)ab内可导，则至少存在一点'()()(,),..()fbfaabstfba。分析：几何意义：(,)ab内有一点的切线与端点的连线平行。证明思路：构造辅助函数满足Rolle中值定理的条件（ⅲ）。注：Lagrange中值定理的等价形式：①'()()()(),fbfafbaab②'()()(())(),01fbfafababa③'()()(),01fahfafahh3、若干推论推论1：设ⅰ、()fx在区间I上可导，ⅱ、'()0,fxxI，则(),fxConstxI.推论2：设ⅰ、(),()fxgx在区间I上可导，ⅱ、''()(),fxgxxI，则()(),fxgxConstxI。推论3：（导数极限定理）设ⅰ、0()(())fxCUx，ⅱ、()fx在0()Ux内可导，ⅲ、0'lim()xxfx，则()fx在点0x可导，且0''0()lim()xxfxfx。注：'0(0)fx不存在时，未必有00()fx不存在，如21sin,0()0,0xxfxxx，虽然'(00)f不存在，担有'(0)0f。三、单调函数定理6.3：设()fx在区间I上可导，则()fx在I上递增（减）等价于'()0(0)fx。定理6.4：若()fx在(,)ab内可导，则()fx在(,)ab内严格递增（递减）的充分必要条件是：ⅰ、''(,)()0(()0)xabfxfx，ⅱ、在(,)ab的任何子区间上'()fx不恒为零。推论：若()fx在区间I上可微，'()0(0)fx，则()fx在I上严格递增（递减）四、中值定理的应用1、根的存在性及个数2、证明等式和不等式3、证明当调性、有界性、一致连续性等4、推到洛必达法则例1、证明对一切1,0hh，成立不等式ln(1)1hhhh。例2、设0,()hfx在[,]ahah上可导，证明存在(0,1)使得''()2()()()()fahfafahfahfahh。五、课堂练习1、证明不等式ln,0babbaabbaa2、设,0ab，证明方程3xaxb不存在正根。第二节柯西中值定理和不等式极限【教学目的】1、柯西中值定理及应用，2、几种重要不等式极限的计算。一、柯西中值定理定理6.5：设函数(),()fxgx满足ⅰ、在[,]ab上都连续，ⅱ、在(,)ab上都可导，ⅲ、'()fx与'()gx不同时为零，ⅳ、()()gagb，则存在(,)ab，使得''()()()()()()ffbfaggbga。注：柯西中值定理的几何意义若在uv直角坐标平面内的曲线由参数方程(),[,](),ugxxabvfx表示，其中(),()fxgx满足柯西中值定理中的条件，则存在(,)ab，使得过点((),())uv的切线平行于两个端点的连线。例、设ⅰ、ab，且0ab，ⅱ、()[,]fxCab，ⅲ、()fx在(,)ab内可导，证明：(,)ab，使得'()()1()()fafbffabba分析：()()()()1()()11fbfafafbbfaafbbaabbababa二、不等式极限1、00不等式定理6.6：若(),()fxgx满足ⅰ、00lim()lim()0xxxxfxgx，ⅱ、在00()Ux内都可导，且'()0gx，ⅲ、0''()lim()xxfxAgx，（A为实数或、），则00''()()limlim()()xxxxfxfxAgxgx。注：ⅰ、以上方法称为洛必达法则，ⅱ、洛必达法则可重复使用，只要满足不等式形式。2、型不等式定理6.7：若(),()fxgx满足ⅰ、00lim()lim()xxxxfxgx，ⅱ、在00()Ux内都可导，且'()0gx，ⅲ、0''()lim()xxfxAgx，（A为实数或、），则00''()()limlim()()xxxxfxfxAgxgx。注：ⅰ、对00,,,xxx等情形均成立，ⅱ、若0''()lim()xxfxgx不存在，并不能说明0()lim()xxfxgx不存在，ⅲ、用洛必达方法求不等式极限，应注意满足的条件。3、其他类型的不等式000,1,0,,等三、例题选讲例1、求1220(12)limln(1)xxexx例2、求0lnsinlimlnsinxmxnx例3、设()gx在(0,)U内有定义，且有'''(0)(0)0,(0)3ggg，令(),0()0,0gxxfxxx，试求'(0)f。四、课堂练习1335(2)(4)(6)(8)(10)(12)2P五、课外作业13335(3)(9)7(5)(8)8P第三节Taylor公式【教学目的】了解并掌握哟哦那个多项式逼近函数的方法。一、带有peano型余项的Taylor公式1、Taylor多项式考虑任意的n次多项式2010200()()()nnnPaaxxaxxaxx求导易知，''()'0000102()()(),(),,,2!!nnnnnnPxPxaPxaPxaan，对一般函数()fx，设在点0x存在直到n阶的导数，构造下式'''()20000000()()()()()()()()1!2!!nnnfxfxfxTxfxxxxxxxn，上述公式称为()fx在点0x处的Taylor多项式，系数()0(),1,2,!nfxnn称为Taylor系数，则()()00()(),0,1,2,kknfxTxn——（3）2、Peano型余项与Taylor公式定理6.8：设()fx在点0x存在直到n阶的导数，则0()()(())nnfxTxoxx——（4）分析：证明的关键在于证明()()()nnRxfxTx为0()nxx的高阶无穷小量。注：ⅰ、公式（4）称为0x处的Taylor公式，ⅱ、()nRx称为Taylor公式的余项，ⅲ、0(())noxx余项称为peano型余项，ⅳ、带有peano型误差的n次多项式()nPx是唯一的。3、带peano型余项的Maclanrin公式当00x时，有()'(0)()(0)(0)()!nnffxffxoxn，称为Maclanrin公式。二、带有Lagrange型余项的Taylor公式Peano型余项只是定性的说：当0xx时，逼近误差是0()nxx的高阶无穷小量。下面给Taylor公式构造一个定量形式的余项，方便进行误差估计。定理6.9：（Taylor定理）设ⅰ、()[,]nfxCab，ⅱ、在(,)ab内存在1n阶导函数，则0,[,]xxab，至少存在一点(,)ab，使得(1)10()()()()(1)!nnnffxTxxxn——（*）分析：即证明(1)10()()()()(1)!nnnffxTxxxn，或(1)10()()()(1)!nnnRxfxxn。这里不用洛必达法则证明，而是利用柯西中值定理来证明。注：ⅰ、（*）式称为带Lagrange型余项的Taylor公式，ⅱ、0n时，（*）式即为Lagrange中值公式，ⅲ、00x时，即为带Lagrange余项的Maclanrin公式，()(1)'1(0)()()(0)(0),(01)!(1)!nnnffxfxffxxnn三、函数的Taylor公式（或Maclanrin公式）展开1、直接展开例1、求()xfxe的Maclanrin公式。解：211,(01)1!2!!(1)!nxxnxxxeexnn例2、求()sinfxx的()fx公式。解：352112sin(1)()3!5!(21)!mmmxxxxxRxm其中2121()sin(()),(01),(,)(21)!2mmxRxxmxm注：其余见139P。2、间接展开——利用已知的展开式，施行代数运算或变量变换，求新的展开式。例3、把函数2()sinfxx展开成含14x项的peano型余项的Maclanrin公式。解：3577sin()3!5!7!xxxxxox610142214sin()3!5!7!xxxxxox例4、把2()cosfxx展开成含6x项，且具有peano型余项的Maclanrin公式。第四节函数的极值与最值一、极值判别方法1、费马定理若()fx在点0x可导，0x为()fx的极值点，则'0()0fx2、判定极值存在的充分条件①极值的第一充分条件定理6.10：设ⅰ、()fx在点0x连续，ⅱ、()fx在00(,)Ux内可导，则ⅰ、若'00'00()0,(,)()0,(,)fxxxxfxxxx，则()fx在点0x取得极小值。ⅱ、若'00'00()0,(,)()0,(,)fxxxxfxxxx，则()fx在点0x取得极大值。②极值的第二充分条件定理6.11：设ⅰ、()fx在0(,)Ux内一阶可导，ⅱ、()fx在点0x处二阶可导，ⅲ、''00()0,()0fxfx，则ⅰ、若''0()0fx，则()fx在点0x处取得极大值，ⅱ、若''0()0fx，则()fx在点0x处取得极小值。分析：本题可利用二阶的Taylor公式来证明。例1、求22()1xfxx的极值。（利用定理6.10）例2、求21()arctanln(1)2fxxx的极值。（利用定理6.11）③极值的第三充分条件定理6.12：设ⅰ、()fx在0(,)Ux内存在直到1n阶导函数，ⅱ、()fx在点0x处n阶可导，ⅲ、()()00()0,(1,2,,1),()0knfxknfx则ⅰ、当n为偶数时，()fx在0x处取得极值，且当()0()0nfx时，()fx在点0x处取得极大值，当()0()0nfx时，()fx在点0x处取得极小值。ⅱ、当n为奇数时，()fx在0x处不取极值。例、求34()(1)fxxx的极值。二、函数的最值1、最值的存在性若()[,]fxCab，则()fx在[,]ab上取得最大值和最小值。2、最值存在时的求法比较以下点的函数值，就可得出最大值可最小值ⅰ、在[,]ab上所有的稳定点，ⅱ、不可导点，ⅲ、端点。例、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该是多少？第五节函数的凸性与拐点一、凸性的定义及判定1、凸性的定义定义1：设()fx为定义在区间I上的函数，若12,xxI，及任意实数(0,1)，总有1212((1))()(1)()fxxfxfx——（1）则称()fx为I上的凸函数，反之，若总有1212((1))()(1)()fxxfxfx——（2）则称()fx为I上的凹函数。注：若（1）、（2）中不等式改为严格不等式，则相关的函数称为严格凸函数与严