06第六节无穷小与无穷大

第六节无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加于阐明.-------大卫.希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方.直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答.而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.分布图示★无穷小的概念★无穷小的运算性质★例1★函数极限与无穷小的关系★无穷大的概念★无穷大举例★无穷小与无穷大的关系★例2★例3★例4★无穷小比较的概念★常用等价无穷小关系★例5★等价无穷小替换原理★例6★例7★例8★例9★内容小结★课堂练习★习题1-6内容要点一、无穷小无穷小的概念无穷小的运算性质函数极限与无穷小的关系二、无穷大无穷大的概念无穷小与无穷大的关系三、无穷小的比较无穷小比较的概念等价无穷小及其应用例题选讲例1(E01)求xxxsinlim.解因为xxxxxxsin1limsinlim，而当x时,x1是无穷小量,xsin是有界量),1sin(x所以,.0sinlimxxx例2(E02)求3214lim21xxxx.解因,0)32(lim21xxx又3)14(lim1xx,0故301432lim21xxxx.0由无穷小与无穷大的关系，得.3214lim21xxxx例3(E03)求147532lim2323xxxxx.解x时，分子和分母的极限都是无穷大，此时采用所谓的无穷小因子分出法，即以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出无穷小，然后再求极限的方法.对本例，先用3x去除分子分母，分出无穷小，再求极限.147532lim2323xxxxx33147532limxxxxx33147lim532limxxxxxx.72例4(E04)求5lim34xxx.解因为0)51(lim5lim443xxxxxx，根据无穷小与无穷大的关系有.5lim34xxx例5(E05)证明.~1xex证令,1xey则),1ln(yx且0x时，,0y因此xexx1lim0)1ln(lim0yyyyyy10)1ln(1lim.1即有等价关系).0(~1xxex上述证明同时也证明了等价关系).0(~)1ln(xxx例6(E06)求xxx5sin2tanlim0.解当0x时，,2~2tanxx.5~5sinxx故xxx5sin2tanlim0xxx52lim0.52例7(E07)求.2sinsintanlim30xxxx错解当0x时，,~tanxx,~sinxx原式30)2(limxxxx.0正解当0x时，,2~2sinxxxxsintan)cos1(tanxx,21~3x故xxxx2sinsintanlim30330)2(21limxxx.161例8(E08)求.3arcsin)21ln(lim0xxx解当0x时，)21ln(x～,2xx3arcsin～,3x故.32323arcsin)21ln(lim0xxxxx例9求121tan1tan1lim0xxxx.解由于0x时，,~121xx,~tanxx故121tan1tan1lim0xxxx)tan1tan1(tan2lim0xxxxx)tan1tan1(2lim0xxxx.1课堂练习1.求.)1(22lim22xxxx2.求极限eelim.