2011年内蒙古包头市包头一中高考数学一模试卷(理科)

2011年内蒙古包头市包头一中高考数学一模试卷（理科）©2012菁优网菁优网©2010箐优网一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（）A、{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3}B、{x|2＜x＜3}C、{x|﹣＜x＜2}D、{x|﹣1＜x＜﹣}2、函数f（x）=x|x|+2x（x＜0）的反函数为（）A、B、C、D、3、（2008•辽宁）已知0＜a＜1，x=loga+loga，y=loga5，z=loga﹣loga，则（）A、x＞y＞zB、z＞y＞xC、y＞x＞zD、z＞x＞y4、（2008•辽宁）已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A、4B、2C、1D、﹣45、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=（）A、26B、27C、28D、296、（2004•福建）已知是非零向量且满足，则的夹角是（）A、B、C、D、7、如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A、B、C、D、8、为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）菁优网©2010箐优网A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位C、向左平移个长度单位D、向右平移个长度单位9、设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°的纬线上，A在东经20°、B在东经110°的经线上，则A、B两地的球面距离是（）A、B、C、D、10、y=，则a为（）A、0B、C、D、11、（2008•四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A、B、C、D、12、已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则θ的值为（）A、B、C、D、二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13、（2006•天津）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为，则a=_________．14、的最大值是_________．15、设等比数列{an}的前n项和为an，若=3，则=_________．16、（2008•江西）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=_________．三、解答题（共6小题，满分70分）17、（2004•重庆）求函数y=sin4x+2sinxcosx﹣cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．18、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．19、四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．菁优网©2010箐优网（Ⅰ）证明：AD⊥CE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．20、已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2，a1=1．（1）设bn=an+1﹣2an，求证{bn}是等比数列（2）设，求证{Cn}是等差数列（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式21、已知方向向量为的直线l过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程：（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足，求实数λ的取值范围．22、已知函数．（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证[（n+1）！]2＞（n+1）•en﹣2（n∈N*）．菁优网©2010箐优网答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（）A、{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3}B、{x|2＜x＜3}C、{x|﹣＜x＜2}D、{x|﹣1＜x＜﹣}考点：交集及其运算。专题：综合题。分析：集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3即∴﹣1＜x＜2．又∵＜0，∴（2x+1）（x﹣3）＞0即或∴x＞3或x＜﹣．∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．故选D点评：此题是以绝对值不等式和其他不等式的解法为平台，考查了求交集的运算，是一道中档题．2、函数f（x）=x|x|+2x（x＜0）的反函数为（）A、B、C、D、考点：反函数。专题：计算题。分析：解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．解答：解：∵f（x）=x|x|+2x（x＜0）即y=﹣x2+2x（x＜0）∴（x﹣1）2=1﹣y，∵x＜0，x﹣1＜﹣1，∴，移项并x、y换位得y=；函数f（x）=x|x|+2x（x＜0）的反函数为菁优网©2010箐优网y=；故选A．点评：本题主要考查反函数的知识点，解答本题的关键是求出原函数的值域，此题是一道比较基础的习题，希望同学们解答时一定注意：一是要注意利用原函数的定义域去判定在逆运算的过程中根号前面的符号，二是用原函数的值域作为反函数的定义域．3、（2008•辽宁）已知0＜a＜1，x=loga+loga，y=loga5，z=loga﹣loga，则（）A、x＞y＞zB、z＞y＞xC、y＞x＞zD、z＞x＞y考点：对数值大小的比较。分析：先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可．解答：解：x=loga+loga=loga，y=loga5=loga，z=loga﹣loga=loga，∵0＜a＜1，又＜＜，∴loga＞loga＞loga，即y＞x＞z．故选C．点评：本题考查对数函数的性质，对数的化简，是基础题．4、（2008•辽宁）已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A、4B、2C、1D、﹣4考点：简单线性规划的应用。专题：计算题；数形结合。分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．菁优网©2010箐优网点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=（）A、26B、27C、28D、29考点：等差数列的性质。专题：计算题。分析：根据等差数列的前n项和公式表示出S9，利用等差数列的性质即可求出a5的值，然后把所求的式子利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解：由S9==9a5=81，得到a5=9，则a2+a5+a8=（a2+a8）+a5=3a5=27．故选B点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．6、（2004•福建）已知是非零向量且满足，则的夹角是（）A、B、C、D、考点：数量积表示两个向量的夹角。专题：计算题。分析：利用向量垂直数量积为0列出两个等式；利用向量数量积的运算律将等式展开，得到两个向量模的关系及模与数量积的关系；利用向量的数量积公式表示出向量夹角的余弦，求出夹角．解答：解：设的夹角是α∵∴菁优网©2010箐优网∴=∴故选A点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的运算律、利用向量的数量积公式表示向量夹角的余弦．7、如图，A1B1C1﹣ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A、B、C、D、考点：异面直线及其所成的角。专题：计算题。分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中点D，连接D1F1，F1D∴D1B∥D1F∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=在△DF1A中，cos∠DF1A=，故选A点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．8、为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位菁优网©2010箐优网C、向左平移个长度单位D、向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。专题：计算题。分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9、设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°的纬线上，A在东经20°、B在东经110°的经线上，则A、B两地的球面距离是（）A、B、C、D、考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．解答：解：地球表面上从A地（北纬45°，东经20°）到B地（北纬45°，东经110°）AB的纬圆半径是，经度差是90°，所以AB=R球心角是，A、B两地的球面距离是故选C．点评：本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．10、y=，则a为（）A、0B、C、D、考点：两条直线垂直的判定；利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：计算题。分析：求出函数在点（，）处的导数即函数在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．解答：解：y=的导数为y′=，x=时，菁优网©2010箐优网y′=0，故y=在点（，）处的切线斜率为0，故与它垂直的直线x+ay+1=0的斜率不存在，∴a=0，故选A．点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质．11、（2008•四川）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）A、B、C、D、考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：先求侧棱与底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的体积．解答：解：如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设∠AA1B1=∠AA1C1=60°，由条件有∠C1A1B1=60°，作AO⊥面A1B1C1于点O，则∴∴∴故选B．点评：此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键．12、已知双曲线的右焦点为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则θ的值为（）A、B、C、D、考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：由a2=cos2θ，b2=sin2θ，，知a=﹣cosθ，b=si