09常微分B答案与评分标准

2010-2011学年第二学期本科试卷课程名称:常微分方程（B）第1页（共6页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院一、求解下列一阶微分方程（7分×6=42分）1.用变量分离法求解微分方程d1.dyxyx解：化为=,1dydxyx（4分）两边积分ln|1|ln||,yxc整理得1,1cxy即通解为(1)1.cxy（6分）此外，1y亦为解.（7分）2.验证方程22(2)d+(+2)d0yxyxxxyy是否为恰当微分方程.若是，写出通解；若不是，找出积分因子并求通解.解：M22yxy，N2+2xxy，2222,MNyxxyyx故原方程是恰当微分方程.（2分）凑微分得2222(2)d+(+2)dd()yxyxxxyyxyxy(5分)所以通解为22,xyxyc其中c为任意常数.（7分）题号一二三四总成绩得分得分年级：2009专业：信息与计算科学（本科）课程号：1101010006第2页（共6页）3.求解伯努利方程26.yyxyx；解：设1,zy化为线性微分方程26,dzdyyzxdxdxx（3分）应用非齐次线性微分方程通解公式得66216().8dxdxxxcxzexedxcx（5分）于是，原方程通解为688xxcy（6分）此外方程还有解0.y（7分）4.将方程d1d3yxyxxy经变量变换化为变量分离方程进行求解.解：令uxy得1411=,33dudyudxdxuu(3)=4,ududx两边积分得2134.2uuxc（6分）于是，方程通解为21().2xyxycc为任意常数.（7分）5.求一阶线性微分方程dsindyyxx满足初值条件1(0)2y的特解.解：应用非齐次线性微分方程通解公式得1(sin)(sincos).2dxdxxyexedxcecxx（5分）由1(0)2y得11.22c即=0.c（6分）故所求特解为1(sincos).2yxx（7分）2010-2011学年第二学期本科试卷课程名称:常微分方程（B）第3页（共6页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院6.求解隐方程22()60.yxyx解：22()6(3)(2)0.yxyxyxyx(3分)于是30yx或2=0yx（5分）23=2yxc或2.yxc（7分）二、求下列高阶微分方程的通解（8分×3=24分）1.求方程cosxxt的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为e,e.tt解：应用常数变易法，令12()e()e,ttxctct（2分）代入方程得12()e()e=0ttctct及12()e()e=cos.ttctctt解得1211()ecos,()ecos,22ttcttctt（6分）由此112211()=e(sincos),()e(sincos),44ttctttcttt于是原方程的通解为121e+ecos,2ttxt其中12,为任意常数.（8分）得分年级：2009专业：信息与计算科学（本科）课程号：1101010006第4页（共6页）2.求解常系数线性微分方程2331.yyyx解：特征方程223(3)(1)0,特征值123,1,（2分）对应齐方程的通解为312ee.xxycc（4分）非齐方程有特解形式,yABx代入原方程有1,1,3AB（6分）于是原方程的通解为3121ee.3xxyccx（8分）3.解欧拉方程2350.xyxyy解：设,Kyx特征方程(1)+350,KKK（4分）1,212,Ki（6分）原方程通解为121[cos(2ln||)sin(2ln||)].ycxcxx（8分）三、求解下列微分方程组（8分×3=24分）1.求方程组12121220,1,01,00xxxxxx．中未知函数12,xtxt的Laplace变换.解：记1122()[()],()[()],XsLxtXsLxt对方程组施行拉普拉斯变换1212()12()0,1()1(),sXssXssXssXss（4分）解得122221(),31().3XsssXss（8分）得分2010-2011学年第二学期本科试卷课程名称:常微分方程（B）第5页（共6页）学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院2.将方程sincosetxtxtx化为等价的一阶微分方程组.解：设12,,xxxx（2分）则1122001=+cossinetxxttxx（6分）记12001,,(),cossinetxXAFtxtt则得到与原方程等价的一阶微分方程组().XAXFt（8分）3.试求方程组'XAX的一个基解矩阵，其中01,21A并进一步计算exp().At解：特征方程2121det()20,2,1,21EA（2分）当12,11221()0,21uEAuu得特征向量u=1,2当21,12211()0,22vEAvv得特征向量v=1,1（4分）故基解矩阵为22(),2tttteetee（5分）年级：2009专业：信息与计算科学（本科）课程号：1101010006第6页（共6页）因1111111(0),21213（6分）得2212221exp()()(0).3222tttttttteeeeAtteeee（8分）四、证明一阶微分方程的初值问题decos()d(0)0xyyxyxy等价于0ecos()d,xxyyxyx并求该初值问题的第一次近似解.（10分）解：若()yx是一阶微分方程的初值问题的解，则()d()ecos(())dxxxxxx，从0到x取定积分并结合初值条件得到()0()()(0)ecos(())d,xxxxxxxx（3分）另一方面若()yx是0ecos()dxxyyxyx的解，微分得()d()ecos(())dxxxxxx，又0x时(0)0,证毕。（5分）由毕卡逐步逼近函数序列的第一次近似解010011()0ecos(0)decosde(sincos).22xxxxxx（10分）得分