1-2子空间与子空间的分解2013

§2线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义7设V是数域F上的一个线性空间，W是V的一非空子集。如果W对于V中所定义的加法和数乘运算也构成数域F上的一个线性空间，则称W为V的一个线性子空间，简称子空间。验证W是否为V的子空间，实际上只需考察W对于V中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则8)(~(1)在W对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例1任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身VV，另一个是0W，称为零元素空间（零子空间）。除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。例2给定12(,,,)mnnAaaaR，集合()|0,nNAxAxxR1212()()(,,,){,,,}|,nnnRAALaaaspanaaayyAxxR分别是nR和mR上的子空间，依次称为A的零空间(核)和列空间（值域），零空间的维数称为零度A的零空间是齐次线性方程组0Ax的全部解向量构成的n维线性空间nR的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以，)())(dim(AranknAN。A的左零空间和行空间()|0,TTmNAxAxxR()()|,TTTmRAAyyAxxR，dim(())()TTNAmrankA。A表示nmA的广义逆，满足AAXA，则有)()(AAIANn且AAIn，AA幂等。所以)()()()()(AranknAAranknAAtrnAAItrAAIranknn例3设)1(,,,21mm是V的m个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合mSpan,,21miiik1|是V的一个子空间，称为由m,,,21生成的子空间。若记mnmRA),,,(21，则)(AmSpan,,21由子空间的定义可知，如果V的一个子空间包含向量m,,,21，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说mSpan,,21是V的一个子空间。注：容易证明(1)dim()()ArankA。(2))()(BAA,lbbB1，特别若ljbj,,2,1,可表示为m,,,21的线性组合，则)()(BAA。定理2设W是nV的一个m维子空间，m,,,21是W的一个基，则这m个向量必定可扩充为nV的基。证明若nm，则定理已成立。若nm，则nV中必存在一个向量1m不能由m,,,21线性表出，从而121,,,,mm线性无关。如果nm1，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过mn次，则可得到nV内mn个线性无关的向量，使nmm,,,,,,121为nV的基。二、子空间的分解子空间作为子集，有子集的交（21WW），和（21WW）等运算，对它们有如下定理。定理3设21,WW是线性空间V的子空间，则有(1)1W与2W的交集21WW21|WW且是V的子空间，称为1W与2W的交空间。(2)1W与2W的和21WW221121,,|WW是V的子空间，称为1W与2W的和空间。证明(1)由10W,20W,可知210WW,因而21WW是非空的.其次，如果,21WW,即1,W而且2,W,因此1W,2W,因此21WW.同样,由1Wk,2Wk,知21WWk.因此21WW是V的子空间.(2)由定义VWW21,而且非空.21,WW,则有2,1,,iWiii.由,,2121),()(2211212121kkk，因iW是子空间,则2211222111,,,WkWkWW,所以,21WW,21WWk即21WW是V的子空间.子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4(维数定理)设1W和2W是线性空间V的两个子空间，则有1dimW+2dimW=)dim(21WW+)dim(21WW(1)证明设rWW)dim(21,11dimsW,22dimsW,21WW基为r,,,21，由定理2知，它们可分别扩充为：1W的基1,,,,,,121srr，2W的基2,,,,,,121srr，则1W=1,,,,,,121srrSpan，2W=2,,,,,,121srrSpan，21WW21,,,,,,,,,1121srsrrSpan.下面证明21,,,,,,,,,1121srsrr为线性无关组。任取数,,,iiiqpk使021111sriiisriiiriiiqpk.(2)因为,21111sriiiriiisriiiqkp所以.2111WWpsriii从而有,111riiisriiinp即.0111sriiiriiipn由1,,,,,,121srr是1W的基,线性无关,故1,,1,0sripi.代入(2)式,得,0211sriiiriiiqk而2,,,,,,121srr是2W的基,于是),,,1(0),,,2,1(02sriqrikii故21,,,,,,,,,1121srsrr线性无关，dim)()()(2121rsrsrWWrss21,定理得证.从(1)式知，若021WW，则有dim(1W+2W)dim1W+dim2W,这时,2,1,,,2121iWxxxWWii其表达式中1x与2x不是唯一的。例如023,010,022,00121SpanWSpanW，有21023WW，即021WW。这时21WW0可有两种表达式000和.023]022001[TT0例4设3R中的两个子空间是1-11-,031-,111,011-212211SpanWSpanW求21WW及21WW的基和维数。解21WW=2121,,,Span由于2211且221,,线性无关，故21WW的一个基为221,,，其维数)dim(21WW=3。由维数定理知)dim(21WW=)dim()dim(21WW-)dim(21WW=2+2-3=1根据2211，得到21212101)2,0,(WWT，从而T1)2,0,(为21WW的一个基，其维数)dim(21WW=1。三、直和子空间子空间的和21WW的定义仅表明，其中的任一向量可表示为,212211,WW。但这种表示法不一定唯一。定义8设21,WW是线性空间V的两个子空间，如果21WW中每个向量的分解式221121,Wα,W是唯一的，则21WW称为21,WW的直和，记为21WW。定理5设1W，2W是线性空间V的两个子空间，则下面几条等价(1)21WW是直和；(2)0向量表示法唯一，即由)(221121Wα,W0得021；(3)21WW=0；(4))dim()dim()dim(2121证明采用轮转方式证明这些命题。)2()1(按定义，21WW内任一向量表示法唯一，因而0的表示法当然唯一。)3()2(用反证法。若021WW，则有0,21WW，于是1W，2W。而)(0，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。)4()3(利用维数定理即得。)1()4(由维数定理知dim(21WW)=0,即21WW=0.对任一21WW,如果),;,(2221112121WααW则有2211-于是0212211-WW，即002211-,。这说明2211,因而表示法唯一。定理证毕。定理6设1W是nV的一个子空间，则必存在nV的子空间2W，使nVWW21。证明：设dim(1W)=m,且m,,,21是1W的一个基，根据定理2它可扩充为nV的基nmm,,,,,,121，令nmSpanW,,12，显然2W就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。定义9设V是实数域R上的实线性空间。如果对于任意的V,，都有一个实数),(与之对应，且满足(1)),(),(;(2)),(),(),(;(3)),(),(kk;(4),0),(当且仅当0时0),(.则称),(为与的内积。定义了内积的实线性空间V称为内积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。例如，在nR中，定义内积niiiTyxyxyx1),(。这时nR成为内积空间。在内积空间nR中，如果0),(yx，则称x与y正交，记为yx。设欧氏空间nR中的基为n,,21，欧氏空间中有两个向量njjjniiiyx11,，下面我们来计算,的内积。jjininjinjjjniiiyxyx),(),(),(1111记),(),(),(),(),(),(),(),(),(),,,(nnnnnnnG21222121211121nnyyyyxxxx2121,，则有yGxnT),,,(),(21注：(1)方阵),,,(21nG称为向量组n,,21的Gram矩阵，或度量矩阵。(2)n,,21线性无关的充要条件是0),,,(21nG。(3)),,,(21nG对称正定。因为方阵0),(),,,(,0),,,(,02121xGxxxnTn(4)若1n,则211)(G表示长度的平方；2n时,则22121),(G,表示面积的平方；,3n呢？(5)若n,,21是规范正交基，则nnIG),,,(21，内积yxT),(。即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内积空间的基常采用规范正交基。另外，在规范正交基