2011年常微分期末考试题B

第１页共页陕西科技大学试题纸课程常微分方程班级学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程''''''sin2sin0yyxyxyx的阶数是，是否为齐次线性方程.2、当(,),(,)MxyNxy满足时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。3、若),,2,1)((nitXi为齐次线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为4、方程21ddyxy的常数解是．5、方程''2'xyyyxe的特解可设为________________二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、1.2xydxxdy______A.yxdB.xydC.xydD.||lnxyd2、0'''2xtxxt的通解为_________（21,cc为任意常数）A.221tctcxB.tectcx21C.tctcx121D.22111tctcx3、.微分方程的242'4'2'2,2yyxxxyxxyy公共解为_______A.13xyB.12xyC.2xyD.3xy4、0)(dyxyydx的积分因子为_______第２页共页A.21yuB.xyu1C.21xuD.221yxu5、函数241(,)()Vxyxyy与222(,)Vxyxy______．A．均为常正的B．均为定正的C．1V常正，2V定正D．1V定正，2V常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）1、求方程3(ln)0ydxyxdyx2、求方程2221yyy的通解3、求方程3222(2)()03yxyxydxxydy的通解4、求解方程26dyyxydxx的通解5、求解方程'''28sin2xxxt的一个特解四、（本题10分）试求方程组'()xAxft的解().t1)(,3421,11)0(tetfA五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）1、2,(0)1,dyyydx已知方程并且满足证明方程解存在唯一性.2、给定方程)(65''''''tfxxx，其中)(tf在t上连续，设tt21,是上述方程的两个解。证明极限12limttt存在。第３页共页陕西科技大学试题纸课程常微分方程参考答案班级数学信息091-2学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人一、填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1、微分方程0sin2)(sin)(5'''2'''xxyyxyy的阶数是3，是否为齐次线性方程否.2、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是________()()ttC其中C为n*n奇异矩阵__________________。3、初值问题00)(),(yxyyxfy的解满足积分方程xxdssysfyxy0))(,()(0。4、是恰当方程,则232xC。5、二维平面自治系统dxaxbydtdycxdydt的奇点(0,0)，当参数满足条件0,0adadbc时，为稳定的奇点。二、单选题(本题共5小题，每小题3分，满分15分)1、一阶线性方程)()(xqyxpdxdy的积分因子是___B___．A．dxxpep)(B．dxxpep)(C．dxxqep)(D．dxxqep)(第４页共页2、方程2ydxdy通过点)1,3(的解的最大存在区间是___A___．A.(2，)B.(0，)C.(-,)D.(-,3)3、曲线1xy满足方程____C__．A．0yxB．1xyyC．0xyyD．21xy4、如果2,sin,sintteett是二阶线性方程)()()(][21tfxtaxtaxxL的解，则下列是0][xL的解的是__C____．A．teettsin22B．tetsin2C．te2D．tsin5、函数241(,)()Vxyxyy与22(,)()Vxyxy___D___．A．均为常正的B．均为定正的C．1V常正，2V定正D．1V定正，2V常正三、解下列微分方程（本题共5小题，分值:6+6+6+6+12，满分36分）4、求方程的通解。26xyxydxdy解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=1y,算得dxdyydxdz2．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分代入原方程得到xzxdxdz6，这是线性方程，求得它的通解为z=826xxc．．２分带回原来的变量y，得到y1=826xxc或者cxyx886，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分1、0d)ln(d3yxyxxy解因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程取)0,1(),(00yx，原方程的通解为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分第５页共页2、2221yyy解：令yty2则原方程消去y后，有2221tyyty由此，得tty1dttdy11221tydttydydx21所以ctcdttx112故原方程的通解为ttyctx11………………………………１分3、（２xy+3222)()03yxydxxydy解：因为222,2MNxxyxyx又因为MNNyx所以方程有积分因子：u(x)=xe方程两边同乘以xe得：xe2(2xyxy322)()03xydxexydy［3222(2)][]03xxxxyexyxydxexdyedxeydy也即方程的解为323xxyexyec．5、'''28sin2xxxt;解：'''20xxx的通解是212ttxCeCe,设原方程的特解是sincosxAtBt,第６页共页将sincosxAtBt代入原方程得(62)sin(26)8sin2ABtABt,所以有628260ABAB6525AB,所以原方程的通解是21262sincos55ttxCeCett;四、（本题10分）试求方程组'()xAxft的解().t1)(,3421,11)0(tetfA解：0)5)(1(3421)det(AE5,1210)(11vAE得1v取111v0)(22vAE得22v取212v则基解矩阵tttteeeet552)(tttttteeeeeet112121012)0()(55151211035241203)()()(5510tttttteeeedssfst因此方程的通解为：ttdssfsttt0)()()()0()()(115121103524120355tttttteeeeee……………2分五、证明题（本题共2小题，分值:10+9，满分19分）第７页共页1、,0)0(),1(2yyxdxdy并且满足已知方程证明方程解存在唯一性.证明：○1构造等价积分式xdxyxyxy0)1(2)0()(，两端求导得原方程，所以构造积分式与原问题同解；………………………………………………2分○2进行迭代;0)0(0yyxxdxyxyy0201)1(2)0(；;21)1(2)0(40212xdxyxyyxx…………;1!!3!222642xnnenxxxxy…………………………………………2分○3证明迭代的序列是收敛的由于构造的迭代序列收敛于一级数，及12limxnney，证明ny是收敛的；………………………………………………2分○4证明收敛到的级数极为方程的解给;)1(2)0(01xnndxyxyy求极限得：dxexyexxx0)11(2)0(122，所以12xe是方程的解……………………2分○5证明解是唯一的设h(x)yf(x),y均为方程的解，并且两者不相等，则0)0()0(hf，CexGexxGexGdxexGdxxGxhxxfxxhxfxGxhxfxGxxxx2222)(0)(2)())(()(2))(1(2))(1(2)()()()()()(''''；而当x=0时，G(0)=0，0)(,0xGC，与)()(xhxf相矛盾，所以解是唯一的.证毕.………………………………………………………………………2分第８页共页2、n个方程构成的齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关解向量。证明:任取bat,0，根据解的存在唯一性定理，……………………………2分x'=A(t)x分别满足初值条件100)(,,010)(,001)(00201txtxtxn………………………………………2分的解)(),(),(21txtxtxn一定存在.………………………………………………2分又因为这n个解)(),(),(21txtxtxn的朗斯基行列式01)(0tW，所以)(),(),(21txtxtxn一定是线性无关的，即证的所求。…………………………3分